logo

함수의 점별수렴과 균등수렴의 차이 📂해석개론

함수의 점별수렴과 균등수렴의 차이

R\mathbb{R} 의 부분집합 E≠∅E \ne \emptyset 에 대해 함수 f:E→Rf : E \to \mathbb{R} 와 함수열 {fn:E→R}n=1∞\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty} 을 정의하자.

함수의 점별수렴

모든 ε>0\varepsilon > 0 과 x∈Ex \in E 에 대해 n≥N  ⟹  ∣fn(x)−f(x)∣<εn \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon 을 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재하면 EE 에서 fnf_{n} 이 ff 로 점별수렴한다고 하고 아래와 같이 표기한다.

fn→f f_n \rightarrow f

함수의 균등수렴

모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 n≥N  ⟹  ∣fn(x)−f(x)∣<εn \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon 을 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재하면 EE 에서 fnf_{n} 이 ff 로 균등수렴한다고 하고 아래와 같이 표기한다.

fn⇉f f_n \rightrightarrows f

설명

점별수렴과 균등수렴의 차이는 함수값이 수렴하는 것과 함수 자체가 수렴하는 것의 차이라고 볼 수 있다. 실제로 두 수렴을 비교해보면 다른 점은 오직 x∈Ex \in E 에 대한 언급이 있냐 없냐 뿐이다. 수학자의 입장에서 느끼는 뉘앙스를 가미해서 적어보면 다음과 같다.

점별수렴: x∈Ex \in E 하나 하나만 보면 ε>0\varepsilon > 0 을 줬을 때 n≥N  ⟹  ∣fn(x)−f(x)∣<εn \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon 을 만족하는 각각의 Nx∈NN_{x} \in \mathbb{N} 이 존재하긴 한다.

균등수렴: ε>0\varepsilon > 0 은 물론이고 x∈Ex \in E 조차 무엇이 되든 n≥N  ⟹  ∣fn(x)−f(x)∣<εn \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon 를 혼자서 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재한다.

함수에 초점을 두고 좀 더 극단적으로 말하자면 점별수렴은 ‘가짜 수렴’, 균등수렴은 ‘진짜 수렴’이라고도 할 수 있겠다. 점별수렴과 균등수렴은 일종의 ‘수렴 속도’ 때문에 구별된다. 물론 둘 다 끝끝내 수렴은 하지만, 점별수렴은 점 각각을 따로보기 때문에 xx 마다 NxN_{x} 가 따로 존재해도 된다. 반면 균등수렴한다면 어떤 x1x_{1} 은 봐주고, 어떤 x2x_{2} 는 안 봐주고 하는 것 없이 EE 전체에서 동시에, 한 방에, 균등하게 ∣fN(x)−f(x)∣<ε | f_{N} (x) - f(x) | < \varepsilon 이 성립하도록 강요하는 NN 이 존재하는 것이다.

예시

예로써 E:=[0,1)E := [0,1) 에서 정의된 다음의 f,fnf , f_{n} 을 생각해보자.

f(x):=0 f(x) := 0

fn(x):=xn f_{n} (x) := x^{n}

0≤x<10 \le x<1 면 ε\varepsilon 이 무엇이든 n≥N  ⟹  xn<εn \ge N \implies x^{n} < \varepsilon 을 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재한다. ε=0.5\varepsilon = 0.5 가 주어져있다고 하고 세 개의 점 x7=0.7x_{7} = 0.7, x8=0.8x_{8} = 0.8, x9=0.9x_{9} = 0.9 에 대해서만 확인해보자.

N7=2  ⟹  0.72=0.49<0.5 N_{7} = 2 \implies 0.7^{2} = 0.49 < 0.5

N8=4  ⟹  0.84=0.4096<0.5 N_{8} = 4 \implies 0.8^{4} = 0.4096 < 0.5

N9=7  ⟹  0.97=0.4782969<0.5 N_{9} = 7 \implies 0.9^{7} = 0.4782969 < 0.5

이렇게 각각의 xrx_{r} 마다 NrN_{r} 이 각자 존재하긴하므로 fnf_{n} 이 ff 로 점별수렴하는 건 맞다. 그런데 이런 식으로는 xrx_{r} 이 11 에 가까워짐에 따라 NrN_{r} 도 엄청나게 커져야한다. 아무리 큰 N∈NN \in \mathbb{N} 을 제안해도 (0.9…9)N>0.5(0.9…9)^{N} > 0.5 를 만족하는 (0.9…9)(0.9…9 ) 는 존재할 수밖에 없다. 따라서 균등수렴이 아니다.

N8=4N_{8}=4 가 N7=2N_{7}=2 까지는 커버할 수 있지만, N9=7N_{9}=7 까지 커버할 순 없었던 것에 주목하자. 각각의 xx 가 00 으로 수렴하는 달리기 시합이 있다고 한다면, N=6N=6 일 때 x9=0.9x_{9} = 0.9 는 0.96=0.5314410.9^{6}=0.531441 이므로 수렴하는 속도가 느려서 ε=0.5\varepsilon = 0.5 보다 작아야한다는 기준에서 ‘낙오’ 된 것이다. 점별수렴은 이를 허용하지만, 균등수렴은 이를 허용하지 않는다. 함수의 수렴성을 논함에 있어서 ‘언젠간 결국 수렴한다’는 느긋한 전제는 부족하며, 예외 없이 다 같이 수렴해야 진짜 수렴이라고 부를 수 있는 것이다.