함수의 점별수렴과 균등수렴의 차이
$\mathbb{R}$ 의 부분집합 $E \ne \emptyset$ 에 대해 함수 $f : E \to \mathbb{R}$ 와 함수열 $\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 을 정의하자.
모든 $\varepsilon > 0$ 과 $x \in E$ 에 대해 $n \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 점별수렴한다고 하고 아래와 같이 표기한다.
$$ f_n \rightarrow f $$
모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $n \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴한다고 하고 아래와 같이 표기한다.
$$ f_n \rightrightarrows f $$
설명
점별수렴과 균등수렴의 차이는 함수값이 수렴하는 것과 함수 자체가 수렴하는 것의 차이라고 볼 수 있다. 실제로 두 수렴을 비교해보면 다른 점은 오직 $x \in E$ 에 대한 언급이 있냐 없냐 뿐이다. 수학자의 입장에서 느끼는 뉘앙스를 가미해서 적어보면 다음과 같다.
점별수렴: $x \in E$ 하나 하나만 보면 $\varepsilon > 0$ 을 줬을 때 $n \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon$ 을 만족하는 각각의 $N_{x} \in \mathbb{N}$ 이 존재하긴 한다.
균등수렴: $\varepsilon > 0$ 은 물론이고 $x \in E$ 조차 무엇이 되든 $n \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon$ 를 혼자서 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다.
함수에 초점을 두고 좀 더 극단적으로 말하자면 점별수렴은 ‘가짜 수렴’, 균등수렴은 ‘진짜 수렴’이라고도 할 수 있겠다. 점별수렴과 균등수렴은 일종의 ‘수렴 속도’ 때문에 구별된다. 물론 둘 다 끝끝내 수렴은 하지만, 점별수렴은 점 각각을 따로보기 때문에 $x$ 마다 $N_{x}$ 가 따로 존재해도 된다. 반면 균등수렴한다면 어떤 $x_{1}$ 은 봐주고, 어떤 $x_{2}$ 는 안 봐주고 하는 것 없이 $E$ 전체에서 동시에, 한 방에, 균등하게 $ | f_{N} (x) - f(x) | < \varepsilon$ 이 성립하도록 강요하는 $N$ 이 존재하는 것이다.
예시
예로써 $E := [0,1)$ 에서 정의된 다음의 $f , f_{n}$ 을 생각해보자.
$$ f(x) := 0 $$
$$ f_{n} (x) := x^{n} $$
$0 \le x<1$ 면 $\varepsilon$ 이 무엇이든 $n \ge N \implies x^{n} < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. $\varepsilon = 0.5$ 가 주어져있다고 하고 세 개의 점 $x_{7} = 0.7$, $x_{8} = 0.8$, $x_{9} = 0.9$ 에 대해서만 확인해보자.
$$ N_{7} = 2 \implies 0.7^{2} = 0.49 < 0.5 $$
$$ N_{8} = 4 \implies 0.8^{4} = 0.4096 < 0.5 $$
$$ N_{9} = 7 \implies 0.9^{7} = 0.4782969 < 0.5 $$
이렇게 각각의 $x_{r}$ 마다 $N_{r}$ 이 각자 존재하긴하므로 $f_{n}$ 이 $f$ 로 점별수렴하는 건 맞다. 그런데 이런 식으로는 $x_{r}$ 이 $1$ 에 가까워짐에 따라 $N_{r}$ 도 엄청나게 커져야한다. 아무리 큰 $N \in \mathbb{N}$ 을 제안해도 $(0.9…9)^{N} > 0.5$ 를 만족하는 $(0.9…9 )$ 는 존재할 수밖에 없다. 따라서 균등수렴이 아니다.
$N_{8}=4$ 가 $N_{7}=2$ 까지는 커버할 수 있지만, $N_{9}=7$ 까지 커버할 순 없었던 것에 주목하자. 각각의 $x$ 가 $0$ 으로 수렴하는 달리기 시합이 있다고 한다면, $N=6$ 일 때 $x_{9} = 0.9$ 는 $0.9^{6}=0.531441$ 이므로 수렴하는 속도가 느려서 $\varepsilon = 0.5$ 보다 작아야한다는 기준에서 ‘낙오’ 된 것이다. 점별수렴은 이를 허용하지만, 균등수렴은 이를 허용하지 않는다. 함수의 수렴성을 논함에 있어서 ‘언젠간 결국 수렴한다’는 느긋한 전제는 부족하며, 예외 없이 다 같이 수렴해야 진짜 수렴이라고 부를 수 있는 것이다.