📂복소해석

음이항계수

정의

$r,k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\displaystyle \binom{-r}{k}$ 를 음이항계수^{negative Binomial Coefficient}라 한다.

설명

음이항계수라는 이름에서 짐작할 수 있듯 이항계수가 음수에 대해 확장된 것이다. 수식적으로만 생각해보면 $\alpha \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\displaystyle \binom{\alpha}{k} = {{ \alpha ( \alpha - 1 ) \cdots ( \alpha - k + 1 ) } \over { k! }}$ 와 같이 계산하지 못할 이유가 없다.

더 나아가서 복소수에 대해서도 일반화 할 수 있는데, 특히 음의 정수 $-r$ 에 대한 논의는 또 다른 쓰임새가 있어 별도로 이름이 붙게 되었다. 음이항계수는 다음과 같이 그냥 이항계수으로도 표현된다. $$ \begin{align*} \binom{-r}{k} =& {{ (-r) ( -r - 1 ) \cdots ( -r - k + 1 ) } \over { k! }} \\ =& (-1)^{k} {{ r ( r + 1 ) \cdots ( r + k - 1 ) } \over { k! }} \\ =& (-1)^{k} \binom{r + k - 1}{ k } \end{align*} $$ 양변에 $(-1)^{k}$ 을 곱하면 $$ (-1)^{k} \binom{-r}{k} = \binom{r + k - 1}{ k } $$ 실제로 음이항분포의 확률질량함수에는 이와 같은 표현이 쓰인다.