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원주율은 무리수임을 증명 📂해석개론

원주율은 무리수임을 증명

정리

π∉Q\pi \notin \mathbb{Q}

Q\mathbb{Q} 는 유리수의 집합을 나타낸다.

증명

Strategy: 정수가 조밀성을 갖지 않는다는 점을 이용한다. 함수 ff, FF 를 아주 교묘하게 정의해서 갖가지 트릭을 사용한다. 이 방법은 이반 니븐Ivan Niven에 의해 고안된 것으로 π\pi 가 무리수라는 것을 보이는 증명 중에서는 가장 쉽지만, 아쉽게도 입실론-델타 논법이 쓰이기 때문에 비약 없이는 고등학교 교과과정 내에서 증명할 수 없다.

N\mathbb{N} 는 자연수의 집합, Z\mathbb{Z} 는 정수의 집합을 나타낸다.

  • Part 1. f(j)(0),f(j)(π)∈Zf^{(j)} (0), f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z}

    π∈Q\pi \in \mathbb{Q} 이라고 가정하면 원주율 π\pi 는 서로소인 어떤 a,b∈Na,b \in \mathbb{N} 에 대해 π=ab\pi = {{ a } \over {b}} 와 같이 나타날 수 있어야한다. 이에 대해 함수 ff 를 다음과 같이 정의하자.

    f(x):=xn(a−bx)nn! f(x) := {{ x^{n} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} 그러면 f(x)f(x) 는 nn 보다 차수가 낮은 항을 가지지 않으며, a,b,n∈Na, b, n \in \mathbb{N} 이므로 이항정리에 의해 n!f(x)n! f(x) 의 모든 항들의 계수는 정수다. 따라서 x=0x = 0 이면 모든 j=0,1,2,⋯j = 0, 1, 2, \cdots 에 대해

    f(j)(0)∈Z f^{(j)} (0) \in \mathbb{Z}

    한편 f(x)=f(ab−x)=f(π−x)f(x) = f \left( {{ a } \over { b }} - x \right) = f( \pi - x) 이므로

    f(j)(π)∈Z f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z}

  • Part 2. ∫0πf(x)sin⁡xdx∈Z\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{Z}

    F(x):=∑j=0n(−1)jf(2j)(x)=f(x)−f′′(x)+f(4)(x)−⋯+(−1)nf(2n)(x) F(x) := \sum_{j=0}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) = f(x) - f ''(x) + f^{(4)} (x) - \cdots + (-1)^{n} f^{(2n)} (x)

    ff 에 대한 새로운 함수 FF 를 위와 같이 정의하면

    ddx[F′(x)sin⁡x−F(x)cos⁡x]=F’’(x)sin⁡x+F(x)sin⁡x=[−∑j=1n(−1)jf(2j)(x)+∑j=0n(−1)jf(2j)(x)]sin⁡x=f(x)sin⁡x \begin{align*} {{ d } \over { dx }} \left[ F ' (x) \sin x - F(x) \cos x \right] =& F’’(x) \sin x + F(x) \sin x \\ =& \left[ - \sum_{j=1}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) + \sum_{j=0}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) \right] \sin x \\ =& f(x) \sin x \end{align*}

    거꾸로 f(x)sin⁡xf(x) \sin x 를 [0,π][0,\pi] 에서 적분해보면

    ∫0πf(x)sin⁡xdx=[F′(x)sin⁡x−F(x)cos⁡x]0π=F(π)+F(0) \begin{align*} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx =& \left[ F ' (x) \sin x - F(x) \cos x \right]_{0}^{\pi} \\ =& F( \pi ) + F( 0 ) \end{align*}

    그런데 Part 1에서 f(j)(0),f(j)(π)∈Zf^{(j)} (0), f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z} 이었으므로 F(0),F(π)∈ZF(0), F(\pi) \in \mathbb{Z} 이고

    (F(0)+F(π))∈Z \left( F( 0 ) + F(\pi) \right) \in \mathbb{Z}

  • Part 3. ∫0πf(x)sin⁡xdx∈N\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N}

    0<x<π0 < x < \pi 라고 하면

    f(x)=xn(a−bx)nn!=bnxn(ab−x)nn!=bnxn(π−x)nn! \begin{align*} f(x) =& {{ x^{n} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} \\ =& {{ b^{n} x^{n} \left( {{ a } \over { b }} - x \right)^{n} } \over { n! }} \\ =& {{ b^{n} x^{n} \left( \pi - x \right)^{n} } \over { n! }} \end{align*}

    이므로 f(x)>0f(x) > 0 이고 sin⁡x>0\sin x > 0 이므로

    0<f(x)sin⁡x 0 < f(x) \sin x

    따라서 **Part 2.**의 ∫0πf(x)sin⁡xdx∈Z\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{Z} 은 사실

    ∫0πf(x)sin⁡xdx∈N \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N}

  • Part 4. 0<f(x)sin⁡x<πnann!0 < f(x) \sin x < {{ \pi^{n} a^{n} } \over { n! }}
    ff 를 미분하면 f′(x)=nxn−1(a−bx)nn!−bnxn(a−bx)n−1n!=xn−1(a−bx)n−1(n−1)![(a−bx)−bx]=2bxn−1(a−bx)n−1(n−1)![π2−x] \begin{align*} f '(x) =& {{ n x^{n-1} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} - {{ b n x^{n} ( a - bx )^{n-1} } \over { n! }} \\ =& {{ x^{n-1} ( a - bx )^{n-1} } \over { (n-1) ! }} \left[ (a-bx) - bx \right] \\ =& 2b {{ x^{n-1} ( a - bx )^{n-1} } \over { (n-1) ! }} \left[ {{ \pi } \over {2}} - x \right] \end{align*} 이므로 ff 는 x=π2x = {{\pi} \over {2}} 에서 최대값을 가진다. 직접 대입해서 계산해보면 f(x)≤bnn!(π2)n(π2)n=ann!(12)n(π2)n=ann!(π4)n<anπnn! \begin{align*} f(x) \le & {{ b^{n} } \over { n! }} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \\ =& {{ a^{n} } \over { n! }} \left( {{1} \over {2}} \right)^{n} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \\ =& {{ a^{n} } \over { n! }} \left( {{\pi} \over {4}} \right)^{n} \\ <& {{ a^{n} \pi^{n} } \over { n! }} \end{align*} 물론 0<x<π0 < x < \pi 에서 ∣sin⁡x∣≤1| \sin x | \le 1 이므로 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 0<f(x)sin⁡x<(aπ)nn!=lim⁡n→∞(aπ)nn!=0 0 < f(x) \sin x < {{ (a \pi)^{n} } \over { n! }} = \lim_{n \to \infty} {{ (a \pi)^{n} } \over { n! }} = 0 이므로 n≥N  ⟹  ∫0πf(x)sin⁡xdx<1 n \ge N \implies \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx < 1 를 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재한다. 그런데 이는 ∫0πf(x)sin⁡xdx∈N\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N} 과 모순이므로, 다음의 결론을 얻는다. π∉Q \pi \notin \mathbb{Q}

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