📂측도론

가측 함수

정의¹

$(X, \mathcal{E})$를 가측 공간이라고 하자. 집합 $S_{f}(\alpha)$를 다음과 같이 정의하자.

$$ S_{f}(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} = f^{-1}\left( (\alpha, \infty) \right),\quad \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

모든 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서 $S_{f}(\alpha) \in \mathcal{E}$가 성립하면, 확장된 실수값을 갖는 함수 $f : X \to \overline{\mathbb{R}}$를 $\mathcal{E}$-가측^{$\mathcal{E}$-measurable} 혹은 간단히 가측^measurable이라고 한다.

설명

특히 $X=\mathbb{R}$이면 르벡 가측이라 한다. 어떤 함수가 가측인지 아닌지를 따질 때 위 정의에 부합하는지를 확인하게 되는데 이 때 유용한 정리가 있다.

정리

함수 $f : X \to \overline{\mathbb{R}}$에 대해서 아래의 네 조건들은 서로 동치이다.

• (a) 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서, $A_{\alpha} = S_{f}(\alpha) =\left\{ x\in X : f(x) > \alpha \right\}$ $\in$ $\mathcal{E}$이다.
• (b) 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서, $B_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) \le \alpha \right\}$ $\in$ $\mathcal{E}$이다.
• (c) 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서, $C_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) \ge \alpha \right\}$ $\in$ $\mathcal{E}$이다.
• (d) 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서, $D_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) < \alpha \right\}$ $\in$ $\mathcal{E}$이다.

증명

우선 $A_{\alpha}$와 $B_{\alpha}$는 서로 여집합이므로 시그마-대수의 성질 (D2) 에 의해서 (a) 와 (b) 는 동치이다. 마찬가지로 (c) 와 (d) 도 동치이다. 따라서 (a) 와 (c) 가 동치인 것을 보이면 증명 완료이다.

$\sigma$-대수

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 컬렉션 $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$를 $\sigma$-대수 라 한다.

• (D1) $\varnothing, X \in \mathcal{E}$
• (D2) $E \in \mathcal{E} \implies E^c \in \mathcal{E}$
• (D3) $E_{k} \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_{k} \in \mathcal{E}$
• (D4) $E_{k} \in \mathcal{E}\ (\forall\ k \in \mathbb{N}) \implies \bigcap_{k=1}^\infty E_{k} \in \mathcal{E}$

(a) $\implies$ (c)

조건 (a) 가 성립한다고 가정하자. 그러면 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해서 $A_{\alpha-\frac{1}{n}}\in\mathcal{E}$가 성립한다. 그리고 $C_{\alpha}=\bigcap_{n=1}^\infty A_{\alpha-\frac{1}{n}}$이다. 따라서 $\sigma$-대수의 정의 (D3) 에 의해서 $C_{\alpha} \in \mathcal{E}$이다.

(c) $\implies$ (a)

조건 (c) 가 성립한다고 가정하자. 그러면 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해서 $C_{\alpha+\frac{1}{n}}\in\mathcal{E}$가 성립한다. 그리고 $A_{\alpha}=\bigcup_{n=1}^\infty C_{\alpha+\frac{1}{n}}$이다. 따라서 $\sigma$-대수의 정의 (D3) 에 의해서 $A_{\alpha} \in \mathcal{E}$이다.

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