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가측 함수 📂측도론

가측 함수

정의1

(X,E)(X, \mathcal{E})를 가측 공간이라고 하자. 집합 Sf(α)S_{f}(\alpha)를 다음과 같이 정의하자.

Sf(α):={x∈X ∣ f(x)>α}=f−1((α,∞)),∀α∈R S_{f}(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} = f^{-1}\left( (\alpha, \infty) \right),\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}

모든 실수 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서 Sf(α)∈ES_{f}(\alpha) \in \mathcal{E}가 성립하면, 확장된 실수값을 갖는 함수 f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}}를 E\mathcal{E}-가측E\mathcal{E}-measurable 혹은 간단히 가측measurable이라고 한다.

설명

특히 X=RX=\mathbb{R}이면 르벡 가측이라 한다. 어떤 함수가 가측인지 아닌지를 따질 때 위 정의에 부합하는지를 확인하게 되는데 이 때 유용한 정리가 있다.

정리

함수 f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}}에 대해서 아래의 네 조건들은 서로 동치이다.

  • (a) 모든 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서, Aα=Sf(α)={x∈X:f(x)>α}A_{\alpha} = S_{f}(\alpha) =\left\{ x\in X : f(x) > \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}이다.
  • (b) 모든 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서, Bα={x∈X:f(x)≤α}B_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) \le \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}이다.
  • (c) 모든 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서, Cα={x∈X:f(x)≥α}C_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) \ge \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}이다.
  • (d) 모든 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서, Dα={x∈X:f(x)<α}D_{\alpha}=\left\{ x\in X : f(x) < \alpha \right\} ∈\in E\mathcal{E}이다.

증명

우선 AαA_{\alpha}와 BαB_{\alpha}는 서로 여집합이므로 시그마-대수의 성질 (D2) 에 의해서 (a) 와 (b) 는 동치이다. 마찬가지로 (c) 와 (d) 도 동치이다. 따라서 (a) 와 (c) 가 동치인 것을 보이면 증명 완료이다.

σ\sigma-대수

집합 XX가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 XX의 부분집합들의 컬렉션 E⊂P(X)\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)를 σ\sigma-대수 라 한다.

  • (D1) ∅,X∈E\varnothing, X \in \mathcal{E}
  • (D2) E∈E  ⟹  Ec∈EE \in \mathcal{E} \implies E^c \in \mathcal{E}
  • (D3) Ek∈E (∀k∈N)  ⟹  ⋃k=1∞Ek∈EE_{k} \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_{k} \in \mathcal{E}
  • (D4) Ek∈E (∀ k∈N)  ⟹  ⋂k=1∞Ek∈EE_{k} \in \mathcal{E}\ (\forall\ k \in \mathbb{N}) \implies \bigcap_{k=1}^\infty E_{k} \in \mathcal{E}

(a)   ⟹  \implies (c)

조건 (a) 가 성립한다고 가정하자. 그러면 모든 n∈Nn\in \mathbb{N}에 대해서 Aα−1n∈EA_{\alpha-\frac{1}{n}}\in\mathcal{E}가 성립한다. 그리고 Cα=⋂n=1∞Aα−1nC_{\alpha}=\bigcap_{n=1}^\infty A_{\alpha-\frac{1}{n}}이다. 따라서 σ\sigma-대수의 정의 (D3) 에 의해서 Cα∈EC_{\alpha} \in \mathcal{E}이다.

(c)   ⟹  \implies (a)

조건 (c) 가 성립한다고 가정하자. 그러면 모든 n∈Nn\in \mathbb{N}에 대해서 Cα+1n∈EC_{\alpha+\frac{1}{n}}\in\mathcal{E}가 성립한다. 그리고 Aα=⋃n=1∞Cα+1nA_{\alpha}=\bigcup_{n=1}^\infty C_{\alpha+\frac{1}{n}}이다. 따라서 σ\sigma-대수의 정의 (D3) 에 의해서 Aα∈EA_{\alpha} \in \mathcal{E}이다.

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  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p8 ↩︎