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유향집합 📂집합론

유향집합

정의 1

(A,≤)(A, \le)를 부분순서집합이라 하자. 임의의 a,b∈Aa, b \in A에 대해 a≤ca \le c, b≤cb \le c를 만족하는 c∈Ac \in A가 존재하면, (A,≤)(A, \le)를 유향집합directed set이라 한다.

설명

  • 전순서집합은 유향집합이다.

  • 집합 XX에 대해서, 멱집합 P(X)P(X)상에 집합의 포함관계 ⊂\subset를 부분순서로 준 (P(X),⊂)(P(X), \subset)은 유향집합이다.

    임의의 A,B∈P(X)A, B \in P(X)에 대해, A,B⊂A∪BA, B \subset A\cup B이다.

정의에서 부분순서 집합일 조건까지 같이 구체적으로 적어보면 다음과 같다. a,b,c∈Aa, b, c \in A에 대해서,

  1. ∀a, a≤a\forall a,\ a \le a (반사성)
  2. a≤b∧b≤c  ⟹  a≤ca \le b \land b \le c \implies a \le c (추이성)
  3. a≤b∧b≤a  ⟹  a=ba \le b \land b \le a \implies a = b (반대칭성)
  4. For some a,b∈A, ∃ d such that a≤d∧b≤d\text{For some }a, b \in A,\ \exist\ d \text{ such that } a \le d \land b \le d

AA의 어느 원소에서부터 시작해도, 결국 하나의 종착지로 도달할 수 있는 집합이다. 가령 다음의 집합들은 유향집합을 이룬다.

A={1}B={1,2}C={1,3}D={1,2,3}E={4}F={5}G={4,5}H={1,2,3,4,5}I={6}J={1,2,3,4,5,6} \begin{align*} A &= \left\{ 1 \right\} \\ B &= \left\{ 1,2 \right\} \\ C &= \left\{ 1,3 \right\} \\ D &= \left\{ 1,2,3 \right\} \\ E &= \left\{ 4 \right\} \\ F &= \left\{ 5 \right\} \\ G &= \left\{ 4, 5 \right\} \\ H &= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\} \\ I &= \left\{ 6 \right\} \\ J &= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\} \\ \end{align*}

그림으로 보면 다음과 같다.

같이 끝남

정의

(A,≤)(A, \le)를 부분순서집합이라 하자. B⊂AB \subset A라 하자. 모든 a∈Aa \in A에 대해서, a≤ba \le b를 만족하는 b∈Bb \in B가 존재하면, BB가 AA에서 같이 끝난다cofinal라고 한다.

정리

BB가 유향집합 AA에서 같이 끝나면, BB는 유향집합이다.

증명

AA가 유향집합이므로, 임의의 a,b∈B⊂Aa, b \in B \subset A에 대해 a,b≤ca, b \le c를 만족하는 c∈Ac \in A가 존재한다. 그런데 AA와 BB가 같이 끝나므로, c≤dc \le d인 d∈Bd \in B가 존재한다. 즉, 임의의 a,b∈Ba, b \in B에 대해 a,b≤da, b \le d를 만족하는 d∈Bd \in B가 존재하는 것이므로, BB는 유향집합이다.

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  1. 박대희·안승호, 위상수학 (5/E, 2022), p435 ↩︎