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베르누이 부등식 증명 📂보조정리

베르누이 부등식 증명

정리

α>0\alpha > 0 이라고 하면 모든 x∈[−1,∞)x \in [ - 1, \infty ) 에 대해 다음 두 부등식이 성립한다.

  • [1]: α∈(0,1]  ⟹  (1+x)α≤1+αx\alpha \in (0, 1] \implies (1 + x )^{\alpha } \le 1 + \alpha x
  • [2] α∈(1,∞]  ⟹  (1+x)α≥1+αx\alpha \in (1, \infty] \implies (1 + x )^{\alpha } \ge 1 + \alpha x

설명

부등식의 모양을 잘 보면 α\alpha 의 크기에 달려 있긴 하지만 둘 중 한 쪽은 곱이고, 나머지 한 쪽은 거듭제곱이다. 물론 조건 나름이지만 곱이든 거듭제곱이든 거슬리는 계산 하나를 내가 원하는 쪽으로 바꿀 수 있다는 것은 굉장히 좋은 일이다.

증명

전략: 평균값 정리만 쓰면 거의 다 끝난다. [2]의 증명은 **[1]과 거의 같으므로 생략한다.

[1]

함수 f:[−1,∞)→Rf : [ -1 , \infty) \to \mathbb{R} 을 f(t):=tαf(t) := t^{\alpha} 와 같이 정의하면 f’(t)=αtα−1f’ (t) = \alpha t^{ \alpha -1 } 이다. 평균값 정리에 의해 f(1+x)−f(1)=αxcα−1 \begin{align} f(1+x) - f(1) = \alpha x c^{\alpha - 1} \label{1} \end{align} 를 만족하는 cc 가 11 과 1+x1 + x 사이에 존재한다.

Case 1. 0<x0 < x

c∈(1,1+x)c \in (1, 1+ x) 이므로 c>1c>1 이고 α−1≤0\alpha - 1 \le 0 이므로 cα−1≤1 c^{\alpha -1} \le 1 양변에 x>0x > 0 을 곱하면 xcα−1≤x x c^{\alpha -1} \le x

Case 2. −1≤x≤0-1 \le x \le 0

c∈(1+x,1)c \in (1 + x, 1) 이므로 c≤1c \le 1 이고 α−1≤0\alpha - 1 \le 0 이므로 cα−1≥1 c^{\alpha - 1} \ge 1 양변에 x≤0x \le 0 을 곱하면 xcα−1≤x x c^{\alpha -1} \le x 어떤 경우든 (1)\eqref{1} 에 따라 (1+x)α=f(1+x)=f(1)+αxcα−1≤f(1)+αx=1+αx \begin{align*} \displaystyle (1 +x)^{\alpha} =& f(1+x) \\ =& f(1) + \alpha x c^{ \alpha - 1 } \\ \le & f(1) + \alpha x \\ =& 1 + \alpha x \end{align*}

■

한편 모든 x>0x > 0 에 대해 1+x<ex1 + x < e^{x} 이므로 e∈[1,∞)e \in [ 1, \infty ) 에 대해 다음의 따름정리를 얻을 수 있다.

따름정리

(1+x)α≤exα(1 + x )^{ \alpha } \le e^{ x \alpha }