스톤-바이어슈트라스 정리 증명
정리1
보조정의
$X$ 에 대해 $A \subset C(X)$ 이라고 하자.
- 서로 다른 $x_{1}, x_{2} \in X$ 에 대해 $f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ 를 만족하는 $f \in A$ 가 항상 존재하면 $A$ 가 $X$ 의 점들을 분리한다separate고 말한다.
- $X$ 가 메트릭 스페이스이고 모든 $\varepsilon > 0$ 과 $f \in C(X)$ 에 대해 $| g - f | < \varepsilon$ 을 만족하는 $g \in A$ 가 존재하면 $A$ 가 $C(X)$ 에서 유니폼리 덴스uniformly dense라 한다.
- $C \left( X \right)$ 은 정의역이 $X$ 고 공역이 $\mathbb{R}$ 인 연속함수 공간의 클래스다.
스톤-바이어슈트라스 정리
$X$ 가 컴팩트 메트릭 스페이스라고 하자. $A$ 가 상수함수를 포함하는 $C(X)$ 의 알지브라고 $X$ 의 점들을 분리하면 $A$ 는 $C(X)$ 에서 유니폼리 덴스하다.
설명
스톤-바이어슈트라스 정리는 연속함수를 다른 함수로 근사시킬 수 있음을 보장한다. 다만 위의 표현은 다소 지나칠 정도로 추상적인 감이 없지 않아 있는데, 흔히 알고 있는 $1$차원에서 다항함수에 대한 스톤-바이어슈트라스 정리는 다음과 같은 스테이트먼트로 쓰여진다.
바이어슈트라스 근사 정리: $f$ 가 $[a,b]$ 상에서 연속이면 주어진 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle \max_{x \in [a,b]} | f(x) - p (x) | < \epsilon$ 을 만족하는 다항함수 $p(x)$ 가 존재한다.
$p(x)$ 가 존재한다는 담백한 표현도 좋긴 하지만, 이제와서 그 중요성을 생각해보면 지나치게 겸손하기도 하다. 입실론 $\epsilon$ 은 일종의 허용오차tolerance인데, 딱 $\epsilon$ 만큼의 수학적 과장을 더하자면 “어떤 연속 함수를 주든 다항함수로 표현할 수 있다"고 말해도 좋은 것이다.
증명
전략: 결코 쉽지 않다. $F \in C(X)$ 에 대해 $A$ 가 아니라 그 클로져 $\overline{A}$ 에서 구체적으로 $| F - G | < \varepsilon$ 이 되도록하는 $G$ 를 만들어낸다. $G$ 를 만들기 위해선 $\overline{A}$ 는 클로즈 알지브라기 때문에 좋은 성질을 사용해야하며, 구체적으로 저러한 $G$ 를 찾아낸 후에는 $G$ 로 수렴하는 $A$ 의 시퀀스를 하나만 제시하면 끝이다.
Part 1. $a, b \in \mathbb{R} , x_{1} \ne x_{2} \implies \exists f \in A : \begin{cases} f(x_{1}) = a \\ f(x_{2}) = b \end{cases}$
$A$ 는 $X$ 의 점들을 분리하므로 서로 다른 $x_{1} , x_{2}$ 에 대해 $g(x_{1} ) \ne g (x_{2} )$ 를 만족하는 $g \in A$ 가 존재한다.
알지브라: 다음 세 가지 조건을 만족하는 집합 $A$ 를 $C(X)$ 의 알지브라algebra라 한다.
- (i): $\emptyset \ne A \subset C(X)$
- (ii): $f,g \in A \implies (f+g) , fg \in A$
- (iii): $f \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A$
$$ f(t) := a {{ g(t) - g(x_{2} ) } \over { g(x_{1} ) - g( x_{2} ) }} + b {{ g(t) - g(x_{1} ) } \over { g(x_{2} ) - g( x_{1} ) }} $$
$A$ 는 상수함수를 포함하는 알지브라이므로 그 값이 각각 $g(x_{1}) , g(x_{2})$ 인 상수함수도 포함하며, $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f$ 를 위와 같이 정의하면 $f \in A$ 이고 $t=x_{1} , x_{2}$ 을 대입해보면 $f(x_{1}) = a$ 이고 $f(x_{2} ) = b$ 이다.
Part 2. $f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies ( f_{1} \land f_{2} ), ( f_{1} \lor g_{2} ) \in \overline{A}$
$\land$ 와 $\lor$ 은 $f,g \in C(X)$ 와 $x \in X$ 에 대해 다음을 의미한다. $$ \begin{align*} (f \land g) (x) :=& \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} \\ (f \lor g) (x) :=& \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} \end{align*} $$
유니폼 클로져의 성질: 메트릭 스페이스 $X$ 에 대해 $A \subset C(X)$ 이라고 하자. $A$ 의 모든 시퀀스 $\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 어떤 $f \in A$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle | f - f_{n} | \to 0$ 면 $A$ 가 유니폼리 클로즈드uniformly Closed라 한다. 만약 $X$ 가 컴팩트 메트릭 스페이스고 $A$ 가 상수함수를 포함하면서 $C(X)$ 의 유니폼리 클로즈드 알지브라라고 하면, 다음이 성립한다. $$ f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A $$
$A$ 의 유니폼 클로져 $\displaystyle \overline{A} := \left\{ f \in C(X) : \lim_{n \to \infty} | f_{n} - f | = 0, f_{n} \in A \right\}$ 를 생각해보자. $A$ 가 알지브라이므로 $\overline{A}$ 역시 알지브라고, 유티폼 클로져의 성질에 따라
$$ f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies (f_{1} \land f_{2}), ( f_{1} \lor f_{2} ) \in \overline{A} $$
Part 3. $\displaystyle | F - G | < {{\varepsilon} \over {2}}$
$F \in C(X)$ 와 $\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0$ 이 주어질 때마다 $\displaystyle | F - G | < {{\varepsilon} \over {2}}$ 을 만족하는 $G \in \overline{A}$ 가 존재함을 보이려 한다.
Part 3-1. $\displaystyle g_{x_{0}} ( x ) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}$
$x_{0} \in X$ 를 픽스하고 $y \ne x_{0}$ 이라 하면 Part 1에 따라
$$ \begin{align*} f_{y} (x_{0}) =& F ( x_{0} ) \\ f_{y} ( y ) =& F ( y ) \end{align*} $$ 를 만족하는 연속 함수 $f_{y} \in A \subset \overline{A} \subset C(X)$ 가 존재한다. $f_{y}$ 와 $F$ 가 연속 함수이므로 $$ V_{y} := \left\{ x \in X : f_{y} (x) < F(x) + {{ \varepsilon } \over { 2 }} \right\} $$ 은 오픈 셋이고 $$ X = \bigcup_{y \ne x_{0}} V_{y} $$ 이다. 그뿐만 아니라 $X$ 는 컴팩트 셋이므로 $$ X = \bigcup_{i=1}^{N_{1}} V_{i} $$ 를 만족하는 유한개의 원소 $y_{1} , \cdots , y_{N_{1}} \in X$ 이 존재한다. 이제 $i = 1 , \cdots , N_{1}$ 에 대해 $$ \begin{align*} f_{i} :=& f_{y_{i}} \\ g_{y_{0}} :=& f_{1} \land \cdots \land f_{N_{1}} \end{align*} $$ 이라고 하면 Part 2에 의해 $g_{x_{0}} \in \overline{A}$ 이다. 여기에 $x = x_{0}$ 를 대입해보면 $$ \begin{align*} g_{x_{0}} ( x_{0} ) =& f_{1} ( x_{0} ) \land \cdots \land f_{N_{1}} ( x_{0} ) \\ =& F ( x_{0} ) \land \cdots \land F ( x_{0} ) \\ =& F ( x_{0} ) \end{align*} $$ $x \in X$ 이면 $x$ 가 $V_{y_{1}} , \cdots , V_{y_{N_{1}}}$ 중 하나에는 속한다는 의미이므로 적어도 하나의 $1 \le k \le N_{1}$ 에 대해 $$ f_{k} (x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}} $$ 이 성립하고, $g_{x_{0}}$ 의 정의에 따라 모든 $i = 1, \cdots , N_{1}$ 에 대해 $g_{x_{0}} ( x ) \le f_{i} (x)$ 이므로 다음을 얻는다. $$ g_{x_{0}} ( x ) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}} $$
Part 3-2. $\displaystyle F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < G(x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}$
$\left\{ V_{y_{i}} \right\}_{i=1}^{N_{1}}$ 과 비슷하게 $X$ 를 커버하는 오픈셋의 유한 컬렉션 $\left\{ W_{x_{i}} \right\}_{i=1}^{N_{2}}$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ W_{x_{i}} := \left\{ x \in X : g_{x_{i}} (x) > F(x) - {{ \varepsilon } \over { 2 }} \right\} $$ Part 3-1과 마찬가지로 이 때 $x_{1}, \cdots , x_{N_{2}}$ 에 대한 각각의 $g_{x_{i}}$ 는 $x_{i} \in X$ 에 대해서 $$ g_{x_{i}} ( x ) > F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} $$ 를 만족한다. 이제 $i = 1, \cdots , N_{2}$ 에 대해 다음의 함수들을 정의하자. $$ \begin{align*} g_{i} :=& g_{x_{i}} \\ G :=& g_{1} \lor \cdots \lor g_{N_{2}} \end{align*} $$ 그러면 모든 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle G(x) > F(x) - {{\varepsilon} \over {2}}$ 이다. 한편 $x \in X$ 이면 $x$ 가 $W_{x_{1}} , \cdots , W_{x_{N_{2}}}$ 중 하나에는 속한다는 의미이므로 적어도 하나의 $j$ 에 대해 $$ F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < g_{j} \le G(x) $$
정리하면 모든 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < G(x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}$ 이므로, 다음을 얻는다. $$ | F(x) - G(x) | < {{\varepsilon} \over {2}} $$
Part 4. $A$ 는 유니폼리 덴스
$\overline{A}$ 는 $A$ 의 유니폼리 클로져이므로 $G \in \overline{A}$ 에 수렴하는 $A$ 의 시퀀스 $\left\{ G_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 존재한다. 다시 말해, 모든 $\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} >0$ 에 대해 $$ n \ge N \implies | G_{n} - G | < {{\varepsilon} \over {2}} $$ 를 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 모든 $\varepsilon > 0$ 과 주어진 함수 $F \in C(X)$ 에 대해 $$ | F(x) - G(x) | < {{\varepsilon} \over {2}} $$ 를 만족하는 $G \in \overline{A}$ 와 $$ | G_{N} - G | < {{\varepsilon} \over {2}} $$ 를 만족하는 $N$ 이 항상 존재하므로
$$ \begin{align*} | F - G_{N} | \le & | F - G | + | G - G_{N} | \\ =& {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} \\ =& \varepsilon \end{align*} $$ 다시 말해, 모든 $\varepsilon > 0$ 과 주어진 함수 $F \in C(X)$ 에 대해 $| F - G_{N} | < \varepsilon$ 을 만족하는 $G_{N} \in A$ 가 존재하므로 $A$ 는 $C(X)$ 에서 유니폼리 덴스다.
■
William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p379-381 ↩︎