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스톤-바이어슈트라스 정리 증명 📂해석개론

스톤-바이어슈트라스 정리 증명

정리1

보조정의

XX 에 대해 A⊂C(X)A \subset C(X) 이라고 하자.

  1. 서로 다른 x1,x2∈Xx_{1}, x_{2} \in X 에 대해 f(x1)≠f(x2)f(x_{1}) \ne f(x_{2}) 를 만족하는 f∈Af \in A 가 항상 존재하면 AA 가 XX 의 점들을 분리한다separate고 말한다.
  2. XX 가 메트릭 스페이스이고 모든 ε>0\varepsilon > 0 과 f∈C(X)f \in C(X) 에 대해 ∣g−f∣<ε| g - f | < \varepsilon 을 만족하는 g∈Ag \in A 가 존재하면 AA 가 C(X)C(X) 에서 유니폼리 덴스uniformly dense라 한다.

스톤-바이어슈트라스 정리

XX 가 컴팩트 메트릭 스페이스라고 하자. AA 가 상수함수를 포함하는 C(X)C(X) 의 알지브라고 XX 의 점들을 분리하면 AA 는 C(X)C(X) 에서 유니폼리 덴스하다.

설명

스톤-바이어슈트라스 정리는 연속함수를 다른 함수로 근사시킬 수 있음을 보장한다. 다만 위의 표현은 다소 지나칠 정도로 추상적인 감이 없지 않아 있는데, 흔히 알고 있는 11차원에서 다항함수에 대한 스톤-바이어슈트라스 정리는 다음과 같은 스테이트먼트로 쓰여진다.

바이어슈트라스 근사 정리: ff 가 [a,b][a,b] 상에서 연속이면 주어진 ϵ>0\epsilon > 0 에 대해 max⁡x∈[a,b]∣f(x)−p(x)∣<ϵ\displaystyle \max_{x \in [a,b]} | f(x) - p (x) | < \epsilon 을 만족하는 다항함수 p(x)p(x) 가 존재한다.

p(x)p(x) 가 존재한다는 담백한 표현도 좋긴 하지만, 이제와서 그 중요성을 생각해보면 지나치게 겸손하기도 하다. 입실론 ϵ\epsilon 은 일종의 허용오차tolerance인데, 딱 ϵ\epsilon 만큼의 수학적 과장을 더하자면 “어떤 연속 함수를 주든 다항함수로 표현할 수 있다"고 말해도 좋은 것이다.

증명

전략: 결코 쉽지 않다. F∈C(X)F \in C(X) 에 대해 AA 가 아니라 그 클로져 A‾\overline{A} 에서 구체적으로 ∣F−G∣<ε| F - G | < \varepsilon 이 되도록하는 GG 를 만들어낸다. GG 를 만들기 위해선 A‾\overline{A} 는 클로즈 알지브라기 때문에 좋은 성질을 사용해야하며, 구체적으로 저러한 GG 를 찾아낸 후에는 GG 로 수렴하는 AA 의 시퀀스를 하나만 제시하면 끝이다.

  • Part 1. a,b∈R,x1≠x2  ⟹  ∃f∈A:{f(x1)=af(x2)=ba, b \in \mathbb{R} , x_{1} \ne x_{2} \implies \exists f \in A : \begin{cases} f(x_{1}) = a \\ f(x_{2}) = b \end{cases}

    AA 는 XX 의 점들을 분리하므로 서로 다른 x1,x2x_{1} , x_{2} 에 대해 g(x1)≠g(x2)g(x_{1} ) \ne g (x_{2} ) 를 만족하는 g∈Ag \in A 가 존재한다.

    알지브라: 다음 세 가지 조건을 만족하는 집합 AA 를 C(X)C(X) 의 알지브라algebra라 한다.

    • (i): ∅≠A⊂C(X)\emptyset \ne A \subset C(X)
    • (ii): f,g∈A  ⟹  (f+g),fg∈Af,g \in A \implies (f+g) , fg \in A
    • (iii): f∈A,c∈R  ⟹  cf∈Af \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A

    f(t):=ag(t)−g(x2)g(x1)−g(x2)+bg(t)−g(x1)g(x2)−g(x1) f(t) := a {{ g(t) - g(x_{2} ) } \over { g(x_{1} ) - g( x_{2} ) }} + b {{ g(t) - g(x_{1} ) } \over { g(x_{2} ) - g( x_{1} ) }}

    AA 는 상수함수를 포함하는 알지브라이므로 그 값이 각각 g(x1),g(x2)g(x_{1}) , g(x_{2}) 인 상수함수도 포함하며, a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} 에 대해 ff 를 위와 같이 정의하면 f∈Af \in A 이고 t=x1,x2t=x_{1} , x_{2} 을 대입해보면 f(x1)=af(x_{1}) = a 이고 f(x2)=bf(x_{2} ) = b 이다.

  • Part 2. f1,f2∈A‾  ⟹  (f1∧f2),(f1∨g2)∈A‾f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies ( f_{1} \land f_{2} ), ( f_{1} \lor g_{2} ) \in \overline{A}

    ∧\land 와 ∨\lor 은 f,g∈C(X)f,g \in C(X) 와 x∈Xx \in X 에 대해 다음을 의미한다. (f∧g)(x):=min⁡{f(x),g(x)}(f∨g)(x):=max⁡{f(x),g(x)} \begin{align*} (f \land g) (x) :=& \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} \\ (f \lor g) (x) :=& \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} \end{align*}

    유니폼 클로져의 성질: 메트릭 스페이스 XX 에 대해 A⊂C(X)A \subset C(X) 이라고 하자. AA 의 모든 시퀀스 {fn∈A:n∈N}\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\} 가 어떤 f∈Af \in A 에 대해 n→∞n \to \infty 일 때 ∣f−fn∣→0\displaystyle | f - f_{n} | \to 0 면 AA 가 유니폼리 클로즈드uniformly Closed라 한다. 만약 XX 가 컴팩트 메트릭 스페이스고 AA 가 상수함수를 포함하면서 C(X)C(X) 의 유니폼리 클로즈드 알지브라라고 하면, 다음이 성립한다. f,g∈A  ⟹  (f∧g),(f∨g)∈A f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A

    AA 의 유니폼 클로져 A‾:={f∈C(X):lim⁡n→∞∣fn−f∣=0,fn∈A}\displaystyle \overline{A} := \left\{ f \in C(X) : \lim_{n \to \infty} | f_{n} - f | = 0, f_{n} \in A \right\} 를 생각해보자. AA 가 알지브라이므로 A‾\overline{A} 역시 알지브라고, 유티폼 클로져의 성질에 따라

    f1,f2∈A‾  ⟹  (f1∧f2),(f1∨f2)∈A‾ f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies (f_{1} \land f_{2}), ( f_{1} \lor f_{2} ) \in \overline{A}

  • Part 3. ∣F−G∣<ε2\displaystyle | F - G | < {{\varepsilon} \over {2}}

    F∈C(X)F \in C(X) 와 ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0 이 주어질 때마다 ∣F−G∣<ε2\displaystyle | F - G | < {{\varepsilon} \over {2}} 을 만족하는 G∈A‾G \in \overline{A} 가 존재함을 보이려 한다.

    • Part 3-1. gx0(x)<F(x)+ε2\displaystyle g_{x_{0}} ( x ) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}

      x0∈Xx_{0} \in X 를 픽스하고 y≠x0y \ne x_{0} 이라 하면 Part 1에 따라

      fy(x0)=F(x0)fy(y)=F(y) \begin{align*} f_{y} (x_{0}) =& F ( x_{0} ) \\ f_{y} ( y ) =& F ( y ) \end{align*} 를 만족하는 연속 함수 fy∈A⊂A‾⊂C(X)f_{y} \in A \subset \overline{A} \subset C(X) 가 존재한다. fyf_{y} 와 FF 가 연속 함수이므로 Vy:={x∈X:fy(x)<F(x)+ε2} V_{y} := \left\{ x \in X : f_{y} (x) < F(x) + {{ \varepsilon } \over { 2 }} \right\} 은 오픈 셋이고 X=⋃y≠x0Vy X = \bigcup_{y \ne x_{0}} V_{y} 이다. 그뿐만 아니라 XX 는 컴팩트 셋이므로 X=⋃i=1N1Vi X = \bigcup_{i=1}^{N_{1}} V_{i} 를 만족하는 유한개의 원소 y1,⋯ ,yN1∈Xy_{1} , \cdots , y_{N_{1}} \in X 이 존재한다. 이제 i=1,⋯ ,N1i = 1 , \cdots , N_{1} 에 대해 fi:=fyigy0:=f1∧⋯∧fN1 \begin{align*} f_{i} :=& f_{y_{i}} \\ g_{y_{0}} :=& f_{1} \land \cdots \land f_{N_{1}} \end{align*} 이라고 하면 Part 2에 의해 gx0∈A‾g_{x_{0}} \in \overline{A} 이다. 여기에 x=x0x = x_{0} 를 대입해보면 gx0(x0)=f1(x0)∧⋯∧fN1(x0)=F(x0)∧⋯∧F(x0)=F(x0) \begin{align*} g_{x_{0}} ( x_{0} ) =& f_{1} ( x_{0} ) \land \cdots \land f_{N_{1}} ( x_{0} ) \\ =& F ( x_{0} ) \land \cdots \land F ( x_{0} ) \\ =& F ( x_{0} ) \end{align*} x∈Xx \in X 이면 xx 가 Vy1,⋯ ,VyN1V_{y_{1}} , \cdots , V_{y_{N_{1}}} 중 하나에는 속한다는 의미이므로 적어도 하나의 1≤k≤N11 \le k \le N_{1} 에 대해 fk(x)<F(x)+ε2 f_{k} (x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}} 이 성립하고, gx0g_{x_{0}} 의 정의에 따라 모든 i=1,⋯ ,N1i = 1, \cdots , N_{1} 에 대해 gx0(x)≤fi(x)g_{x_{0}} ( x ) \le f_{i} (x) 이므로 다음을 얻는다. gx0(x)<F(x)+ε2 g_{x_{0}} ( x ) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}

    • Part 3-2. F(x)−ε2<G(x)<F(x)+ε2\displaystyle F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < G(x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}

      {Vyi}i=1N1\left\{ V_{y_{i}} \right\}_{i=1}^{N_{1}} 과 비슷하게 XX 를 커버하는 오픈셋의 유한 컬렉션 {Wxi}i=1N2\left\{ W_{x_{i}} \right\}_{i=1}^{N_{2}} 를 다음과 같이 정의하자. Wxi:={x∈X:gxi(x)>F(x)−ε2} W_{x_{i}} := \left\{ x \in X : g_{x_{i}} (x) > F(x) - {{ \varepsilon } \over { 2 }} \right\} Part 3-1과 마찬가지로 이 때 x1,⋯ ,xN2x_{1}, \cdots , x_{N_{2}} 에 대한 각각의 gxig_{x_{i}} 는 xi∈Xx_{i} \in X 에 대해서 gxi(x)>F(x)−ε2 g_{x_{i}} ( x ) > F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} 를 만족한다. 이제 i=1,⋯ ,N2i = 1, \cdots , N_{2} 에 대해 다음의 함수들을 정의하자. gi:=gxiG:=g1∨⋯∨gN2 \begin{align*} g_{i} :=& g_{x_{i}} \\ G :=& g_{1} \lor \cdots \lor g_{N_{2}} \end{align*} 그러면 모든 x∈Xx \in X 에 대해 G(x)>F(x)−ε2\displaystyle G(x) > F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} 이다. 한편 x∈Xx \in X 이면 xx 가 Wx1,⋯ ,WxN2W_{x_{1}} , \cdots , W_{x_{N_{2}}} 중 하나에는 속한다는 의미이므로 적어도 하나의 jj 에 대해 F(x)−ε2<gj≤G(x) F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < g_{j} \le G(x)

    정리하면 모든 x∈Xx \in X 에 대해 F(x)−ε2<G(x)<F(x)+ε2\displaystyle F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < G(x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}} 이므로, 다음을 얻는다. ∣F(x)−G(x)∣<ε2 | F(x) - G(x) | < {{\varepsilon} \over {2}}

  • Part 4. AA 는 유니폼리 덴스

    A‾\overline{A} 는 AA 의 유니폼리 클로져이므로 G∈A‾G \in \overline{A} 에 수렴하는 AA 의 시퀀스 {Gn}n∈N\left\{ G_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 가 존재한다. 다시 말해, 모든 ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} >0 에 대해 n≥N  ⟹  ∣Gn−G∣<ε2 n \ge N \implies | G_{n} - G | < {{\varepsilon} \over {2}} 를 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재한다. 모든 ε>0\varepsilon > 0 과 주어진 함수 F∈C(X)F \in C(X) 에 대해 ∣F(x)−G(x)∣<ε2 | F(x) - G(x) | < {{\varepsilon} \over {2}} 를 만족하는 G∈A‾G \in \overline{A} 와 ∣GN−G∣<ε2 | G_{N} - G | < {{\varepsilon} \over {2}} 를 만족하는 NN 이 항상 존재하므로
    ∣F−GN∣≤∣F−G∣+∣G−GN∣=ε2+ε2=ε \begin{align*} | F - G_{N} | \le & | F - G | + | G - G_{N} | \\ =& {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} \\ =& \varepsilon \end{align*} 다시 말해, 모든 ε>0\varepsilon > 0 과 주어진 함수 F∈C(X)F \in C(X) 에 대해 ∣F−GN∣<ε| F - G_{N} | < \varepsilon 을 만족하는 GN∈AG_{N} \in A 가 존재하므로 AA 는 C(X)C(X) 에서 유니폼리 덴스다.

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  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p379-381 ↩︎