📂해석개론

연속함수공간의 알지브라

정의¹

1. 다음 세 가지 조건을 만족하는 집합 $A$ 를 $C(X)$ 의 알지브라^algebra라 한다.
   • (i): $\emptyset \ne A \subset C(X)$
   • (ii): $f,g \in A \implies (f+g) , fg \in A$
   • (iii): $f \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A$
2. 메트릭 스페이스 $X$ 에 대해 $A \subset C(X)$ 이라고 하자. $A$ 의 모든 시퀀스 $\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 어떤 $f \in A$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle | f - f_{n} | \to 0$ 면 $A$ 가 유니폼리 클로즈드^{uniformly Closed}라 한다.

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• $C \left( X \right)$ 은 정의역이 $X$ 고 공역이 $\mathbb{R}$ 인 연속함수 공간의 클래스다.

정리

만약 $X$ 가 컴팩트 메트릭 스페이스고 $A$ 가 상수함수를 포함하면서 $C(X)$ 의 유니폼리 클로즈드 알지브라라고 하면, 다음이 성립한다. $$f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A$$

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• $\land$ 와 $\lor$ 은 $f,g \in C(X)$ 와 $x \in X$ 에 대해 다음을 의미한다. $$\begin{align*} (f \land g) (x) :=& \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} \\ (f \lor g) (x) :=& \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} \end{align*}$$

증명

전략: 이에 대한 위의 보조정리는 간단한 팩트처럼 보이지만 증명은 결코 쉽지 않다. $(f \land g)$ 와 $(f \lor g)$ 는 조금 더 쉬운 함수들의 조합으로 나타낼 수 있다. 그 쉬운 함수 중에 $|f|$ 가 있는데, $f \in A \implies |f| \in A$ 임을 보이는 것이 난관이다. 이항급수를 통한 트릭으로 $|f|$ 로 수렴할 수열 $\left\{ M g_{n} (x) \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 직접 만들어낸다. 그러면 유니폼리 클로즈드라는 조건에 의해 증명이 끝난다. 이 보조정리는 스톤-바이어슈트라스 정리를 증명하는데 요긴하게 쓸 수 있다.

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• Part 1. 알지브라

  $A$ 는 알지브라이므로 $$\begin{align*} g \in A, 0 \in \mathbb{R} \implies & 0 \in A \\ g \in A, (-1) \in \mathbb{R} \implies & (-g) \in A \\ f , (-g) \in A \implies & (f - g ) \in A \end{align*}$$ 이다. $(f \land g) (x)$ 와 $(f \lor g) (x)$ 은 각각 $$\begin{align*} (f \land g) (x) = \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} =& {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) - \left| (f - g)(x) \right| \right] \\ (f \lor g) (x) = \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} =& {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) + \left| (f - g)(x) \right| \right] \end{align*}$$ 처럼 $(f + g)$ 와 $| f - g |$ 의 조합으로 나타낼 수 있다. 다시 한 번, $A$ 는 알지브라이므로 $(f + g ) \in A$ 이고 $( f - g ) \in A$ 이므로 $f \in A \implies | f | \in A$ 만 보이면 충분하다. $| f | = 0$ 인 경우는 당연히 $| f | = 0 \in A$ 이므로 $M := | f | > 0$ 인 경우만 생각해보자.

• Part 2. $\forall \epsilon> 0 , \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$

  이항급수 : $|x| < 1$ 이면 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 $$(1 + x )^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k}$$

  $$\begin{align*} \displaystyle | t | =& \left( 1 - \left( 1- t^2 \right) \right)^{1/2} \\ =& 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{\infty} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k} \end{align*}$$

  은 $( -\sqrt{2} , \sqrt{2} )$ 상에서 균등수렴하므로 $[-1,1]$ 상에서도 균등수렴한다. 위 식의 마지막 항을 $n \in \mathbb{N}$ 에 따른 유합합으로 바꾼 $P_{n}$ 를 다음과 같이 정의하자.

  $$P_{n} (t) := 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{n} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k}$$

  그러면 임의의 $\varepsilon > 0$ 와 $t \in [-1 , 1 ]$ 에 대해 $n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다.

• Part 3. $f \in A \implies | f | \in A$

  $x \in X$ 에 대해 $g_{n} (x)$ 을

  $$g_{n} (x ) : = P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right)$$

  와 같이 정의하자. $A$ 는 상수함수를 포함하는 알지브라이므로 모든 $c \in \mathbb{R}$ 에 대응되는 상수함수 $c(x) = c$ 가 존재한다. $\displaystyle P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right)$ 는 상수함수와 $\displaystyle \left( {{f(x)} \over {M}} \right)^{2k}$ 들의 선형결합으로 표현되므로 $g_{n} \in A$ 임이 보장된다. Part 1에서 $M = | f | > 0$ 으로 가정했으므로 $t$ 를 $\displaystyle t := {{ f(x) } \over { M }}$ 로 두면 $t \in [-1,1]$ 이고 Part 2에 따라

  $$\left| g_{n} (x) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right| \right| = \left| P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right|\right| = \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$$

  을 만족하는 $N$ 이 존재한다. 양끝변에 $M$ 을 곱하면

  $$\left| M g_{n} (x) - \left| f(x) \right| \right| < M \varepsilon$$

  이므로 $x \in X$ 상에서 $n \to \infty$ 일 때 $| M g_{n} - |f| | \to 0$ 이고, $A$ 는 유니폼리 클로즈드이므로

  $$|f| \in A$$

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