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수직인 두 직선의 기울기의 곱은 항상 -1임을 증명

정리

서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 항상 $-1$이다.

설명

여러 문제에서 매우 유용하게 쓰이는 사실이다. 2가지 증명 방법을 소개한다.

증명

1

피타고라스의 정리를 사용한다. 아래 그림을 보자.

수직인 두 직선의 기울기가 $a$, $a^{\prime}$라고 하자. 그러면 위의 그림과 같이 직각 삼각형$\triangle OAA^{\prime}$을 생각할 수 있고 피타고라스의 정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} && {\overline{OA} }^2 + {\overline{OA^{\prime}} }^2 =&\ {\overline{AA^{\prime}} }^2 \\ \implies && (1+a^2) + (1 + {a^{\prime}}^2) =&\ (a-a^{\prime}) ^2 \\ \implies && a^2 + {a^{\prime}}^2 +2 =&\ a^2 + {a^{\prime}}^2 -2aa^{\prime} \\ \implies && 2 =&\ -2aa^{\prime} \\ \implies && aa^{\prime} =&-1 \end{align*} $$

따라서 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이다.

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2

임의의 한 직선의 기울기는 $\tan \theta$이다. 그러면 수직인 두 직선의 기울기는 각각 $\tan \theta$, $\tan \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right)$으로 표현 할 수 있다. 그러면 다음의 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} \tan \theta \cdot \tan \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) =&\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \frac{\sin \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) }{\cos \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) } \\ =&\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \left( \frac{\cos \theta}{-\sin\theta } \right) \\ =&\ -1 \end{align*} $$

따라서 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이다.

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