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지수함수집합, 삼각함수집합은 정규직교기저이다 📂푸리에해석

지수함수집합, 삼각함수집합은 정규직교기저이다

정리

두 집합 {einx}n=−∞∞\left\{ e^{inx} \right\}_{n=-\infty}^\infty와 {cos⁡nx }n=0∞∪{sin⁡nx}n=1∞\left\{ \cos nx\ \right\}_{n=0}^\infty \cup \left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^\infty는 L2(−π, π)L^{2}(-\pi,\ \pi)의 정규직교기저 이다. 또한 {cos⁡nx}n=0∞\left\{ \cos nx \right\}_{n=0}^{\infty}와 {sin⁡nx}n=1∞\left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^{\infty}는 L2(0, π)L^{2}(0,\ \pi)의 정규직교기저이다.

설명

주어진 함수를 삼각함수들의 급수로 표현하는 푸리에 급수가 타당한 이유를 설명하는 사실이다.

증명

ϕn(x)=einx\phi_{n}(x)=e^{inx}라고 하자. 그리고 f∈L2(−π, π)f \in L^{2}(-\pi,\ \pi)이고 ϵ\epsilon을 아주 작은 임의의 양수라고 가정하자.

보조정리

임의의 f∈L2(a, b)f \in L^{2}(a,\ b)에 대해서 ∣fn−f∣→0| f_{n} - f | \rightarrow 0을 만족하는 [a, b][a,\ b]위에서 매끄러운 함수들의 수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\}이 존재한다.

그러면 보조정리에 의해서 다음의 식을 만족하는 f~\tilde{f}가 존재한다.

∣f−f~∣<ϵ3 \begin{equation} | f-\tilde{f} | < \frac{\epsilon}{3} \label{eq1} \end{equation}

그리고 cn=12π⟨f, ϕn⟩c_{n}=\frac{1}{2\pi}\langle f,\ \phi_{n} \rangle, c~n=12π⟨f~, ϕn⟩\tilde{c}_{n}=\frac{1}{2\pi}\langle \tilde{f},\ \phi_{n} \rangle이 ff와 f~\tilde{f}의 푸리에 계수 라고 하자. 그러면 f~\tilde{f}의 푸리에 급수 ∑c~nϕn\sum \tilde{c}_{n}\phi_{n}은 f~\tilde{f}로 균등수렴하고 , 균등수렴하므로 놈에서 수렴한다 . 즉 아래의 식이 성립한다.

∥f~−∑−NNc~nϕn∥<ϵ3 \begin{equation} \left\| \tilde{f} -\sum \limits_{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right\| < \dfrac{\epsilon}{3} \label{eq2} \end{equation}

그리고 아래의 식이 성립한다.

∥∑−NNc~nϕn−∑−NNcnϕn∥2=∥∑−NN(c~n−cn)ϕn∥2=∑−NN∣c~n−cn∣2∣ϕn∣2=∑−NN12π∣⟨f~−f, ϕn⟩∣2∣ϕn∣2=∑−NN12π∣⟨f~−f, ϕn⟩∣2≤∑−∞∞12π∣⟨f~−f, ϕn⟩∣2≤∣f~−f∣2<(ϵ3)2 \begin{align} \left\| \sum\limits_{-N}^{N}\tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum\limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\| ^{2} &= \left\| \sum\limits_{-N}^{N} (\tilde{c}_{n}-c_{n}) \phi_{n} \right\| ^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} | \tilde{c}_{n} -c_{n} |^{2} | \phi_{n} |^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} | \phi_{n}|^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le \sum \limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le | \tilde{f} - f | ^{2} \nonumber \\ &< \left( \dfrac{\epsilon}{3} \right)^{2} \label{eq3} \end{align}

네번째 등호는 ∣ϕn∣=1 | \phi_{n} |=1이기 때문에 성립한다. 여섯번째 줄은 베셀 부등식 에 의해 성립한다. 마지막 줄은 가정 (eq1)\eqref{eq1}에 의해 성립한다. 이제 (1)(1), (2)(2), (3)(3)을 이용하여 ∣f−∑cnϕn∣→0| f -\sum c_{n}\phi_{n} | \rightarrow 0임을 보이면 증명 완료이다.

f−∑−NNcnϕn=(f−f~)+(f~−∑−NNc~nϕn)+(∑−NNc~nϕn−∑−NNcnϕn) f-\sum \limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} = (f-\tilde{f}) + \left( \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right) + \left( \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum _{-N}^{N}c_{n}\phi_{n}\right)

위의 식이 성립하므로 삼각 부등식에 의해

∥f−∑−NNcnϕn∥≤∥f−f~∥+∥f~−∑−NNc~nϕn∥+∥∑−NNc~nϕn−∑−NNcnϕn∥=ϵ3+ϵ3+ϵ3=ϵ \begin{align*} \left\| f-\sum\limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} \right\| &\le \| f-\tilde{f} \| + \left\| \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right\| + \left\| \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum _{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} \right\| \\ &= \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon \end{align*}

따라서

∥f−∑−∞∞cnϕn∥→0 \left\| f- \sum \limits_{-\infty}^{\infty} c_{n}\phi_{n} \right\| \rightarrow 0

이고 조건 (b)에 의해서 {ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}는 완비정규직교집합이다.

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나머지 경우에 대해서는 본질적으로 똑같은 결과이거나 거의 비슷한 과정으로 증명할 수 있으므로 생략한다.