📂푸리에해석

리만-르벡 보조 정리

정리¹

$f \in$ $L^{1}$이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \lim \limits_{n \to \pm \infty} \hat{f}(\xi) = 0 $$

이때 $\hat{f}$는 $f$의 푸리에 변환이다.

증명

step 1에서 계단 함수 $f$에 대해서 증명하고, step 2에서 일반화한다. step 1과 step 2의 $f$가 같지 않음에 주의하라.

• case 1

  $f$를 아래와 같은 계단 함수라고 가정하자.

  $$ f(x) = \sum \limits_{j=1}^n c_{j} \chi_{j}(x) $$

  $c_{j}$는 상수이고 $\chi_{j}(x)=\chi_{ [-x_{j}-a_{j} ,\ x_{j}+a_{j}] }(x)$이다. 여기서 $\mathcal{F} \left[ f(x-a) \right] ( \xi ) = e^{-ia\xi}\hat{f}(\xi)$, $\chi_{[-x_{j} - a_{j},\ x_{j} + a_{j}]}(x)=\chi_{[-a_{j} ,\ a_{j}]}(x-x_{j})$, $\mathcal{F} \left[ \chi_{[-a,a]}(x) \right] = \dfrac{2 \sin(a\xi) }{\xi}$임을 이용하면

  $$ \begin{align*} \mathcal{F}\left[ \chi_{[-x_{j}-a_{j} ,\ x_{j}+a_{j}]} (x)\right] (\xi) &= \mathcal{F}\left[ \chi_{ [-a_{j} ,\ a_{j}]} (x-x_{j})\right] (\xi) \\ &= e^{-i\xi x_{j}} \mathcal{F} \left[ \chi_{[-a_{j},\ a_{j}]}(x)\right] (\xi) \\ &= e^{-i\xi x_{j}}\dfrac{2\sin (a_{j}\xi) }{\xi} \end{align*} $$

  따라서 $f$의 푸리에 변환은

  $$ \hat{f} (\xi) = \sum \limits_{j=1}^n2 c_{j}e^{-i\xi x_{j}} \dfrac{ \sin (a_{j} \xi) }{\xi} \rightarrow 0 \quad \mathrm{as}\ \ \xi \rightarrow \pm \infty $$

• step 2

  $f \in L^{1}$이라 가정하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 계단 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$이 존재한다.

  $$ \int |f_{n}(x) -f(x)| dx \rightarrow 0 $$

  이를 이용하면

  $$ \begin{align*} \sup \limits_{\xi}| \hat{f_{n}}(\xi) - \hat{f}(\xi)| &= \sup \limits_{\xi} \left| \int \big( f_{n}(x)-f(x) \big) e^{-i\xi x} dx \right| \\ &\le \sup \limits_{\xi} \int \left| f_{n}(x)-f(x) \right| dx \rightarrow 0 \end{align*} $$

  따라서 $\hat{f_{n}}(\xi)$는 $\hat{f}(\xi)$로 균등수렴한다. 그리고 step 1의 결과로부터 $\hat{f_{n}}(\xi) \rightarrow 0 \quad \mathrm{as} \ \ \xi \rightarrow \pm \infty$이므로

  $$ \hat{f}(\xi) \rightarrow 0 \quad \mathrm{as} \ \ \xi \rightarrow \pm \infty $$

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