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가법성을 가진 연속함수의 성질 📂함수

가법성을 가진 연속함수의 성질

정리

  • [1] 연속함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 가 모든 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} 에 대해 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y) 을 만족하면 f(x)=f(1)x f(x) = f(1) x
  • [2] 연속함수 g:R→(0,∞)g : \mathbb{R} \to ( 0 , \infty ) 가 모든 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} 에 대해 g(x+y)=g(x)g(y)g(x + y) = g(x) g(y) 을 만족하면 g(x)=(g(1))x g(x) = \left( g(1) \right)^x

설명

f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y) 와 같이 덧셈이 함수를 넘나들면서 보존되는 성질을 가법성이라 하고 곱셈이 보존되는 성질을 승법성이라고 한다. gg 는 가법성과 승법성이 반반 섞인 느낌의 호모몰피즘이다.

증명

전략: 함수의 안팎으로 유리수가 넘나들 수 있음을 먼저 보인 후 xx 로 수렴하는 유리수의 수열을 만들어낸다. 연속성이 보장되어있으므로 lim⁡\lim 역시 함수의 안팎으로 넘나드는 점을 이용한다.

[1]

Part 1. f(−x)=−f(x)f(-x) = - f(x)

가법성에 의해 f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)  ⟹  f(0)=0 f( 0 ) = f( 0 + 0 ) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 0 마찬가지로 가법성에 의해 0=f(0)=f(x+(−x))=f(x)+f(−x)  ⟹  f(−x)=−f(x) 0 = f( 0 ) = f( x + (-x) ) = f(x) + f( -x ) \implies f(-x) = - f(x)

Part 2. f(qx)=qf(x)f(qx) = q f(x)

n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 f(nx)=f(x+⋯+x⏟n)=f(x)+⋯+f(x)⏟n=nf(x)  ⟹  f(nx)=nf(x) f(nx) = f \left( \underbrace{x + \cdots + x}_{n} \right) = \underbrace{f(x) + \cdots + f(x)}_{n} = n f(x) \implies f(nx) = nf(x) y:=xn\displaystyle y := {{ x } \over {n}} 이라고 두면 f(x)=f(ny)=nf(y)=nf(xn)  ⟹  f(xn)=1nf(x) f(x) = f(ny) = n f(y) = n f \left( {{x} \over {n}} \right) \implies f \left( {{x} \over {n}} \right) = {{1} \over {n}} f(x) 그리고 Part 1에 따르면 이 성질들은 음수에 대해서도 성립하므로 모든 q∈Qq \in \mathbb{Q} 에 대해 f(qx)=qf(x) f(qx) = q f(x)

Part 3. f(x)=mxf(x) = mx

x∈Rx \in \mathbb{R} 로 수렴하는 유리수의 수열 {qn}n∈N\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 을 정의하면 Part 2와 ff 의 연속성에 의해

f(x)=f(x⋅1)=f(lim⁡n→∞qn⋅1)=lim⁡n→∞f(qn⋅1)=lim⁡n→∞qnf(1)=f(1)x \begin{align*} f(x) =& f( x \cdot 1 ) \\ =& f( \lim_{n \to \infty} q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} f( q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} q_{n} f( 1 ) = f(1) x \end{align*}

■

[2]

Part 1. g(−x)=(g(x))−1\displaystyle g(-x) = \left( g (x) \right)^{-1}

g(x)≠0g(x) \ne 0 이므로 g(0)=g(0+0)=g(0)g(0)  ⟹  g(0)=1 g( 0 ) = g( 0 + 0 ) = g(0) g(0) \implies g(0) = 1 마찬가지로 1=g(0)=g(x+(−x))=g(x)g(−x)  ⟹  g(−x)=1g(x) 1 = g( 0 ) = g( x + (-x) ) = g(x) g( -x ) \implies g(-x) = {{1} \over {g(x)}}

Part 2. g(qx)=(g(x))qg(qx) = \left( g(x) \right)^{q}

n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 g(nx)=g(x+⋯+x⏟n)=g(x)×⋯×g(x)⏟n=(g(x))n  ⟹  g(nx)=(g(x))n g(nx) = g \left( \underbrace{x + \cdots + x}_{n} \right) = \underbrace{ g(x) \times \cdots \times g(x)}_{n} = \left( g(x) \right)^{n} \implies g(nx) = \left( g(x) \right)^{n} y:=xn\displaystyle y := {{ x } \over {n}} 이라고 두면 g(x)=g(ny)=(g(y))n=(g(xn))n  ⟹  g(xn)=(g(x))1n g(x) = g(ny) = \left( g(y) \right)^{n} = \left( g \left( {{x} \over {n}} \right) \right)^{n} \implies g \left( {{x} \over {n}} \right) = \left( g(x) \right)^{{1} \over {n}} 그리고 Part 1에 따르면 이 성질들은 음수에 대해서도 성립하므로 모든 q∈Qq \in \mathbb{Q} 에 대해 g(qx)=(g(x))q g(qx) = \left( g(x) \right)^{q}

Part 3.

g(x)=axg(x) = a^x 그리고 x∈Rx \in \mathbb{R} 로 수렴하는 유리수의 수열 {qn}n∈N\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 을 정의하면 Part 2와 gg 의 연속성에 의해 g(x)=g(x⋅1)=g(lim⁡n→∞qn⋅1)=lim⁡n→∞g(qn⋅1)=lim⁡n→∞g(1)qn=g(1)lim⁡n→∞qn=(g(1))x \begin{align*} g(x) =& g( x \cdot 1 ) \\ =& g( \lim_{n \to \infty} q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} g( q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} g( 1 )^{q_{n}} \\ =& g( 1 )^{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} q_{n}} \\ =& \left( g(1) \right)^{x} \end{align*}

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