📂푸리에해석

푸리에 변환의 성질

정리¹

$\cal{F}f, \hat{f}$를 $f$의 푸리에 변환이라고 하자. $f \in L^{1}$이라 하자. 그러면 푸리에 변환에 대해서 다음의 성질들이 성립한다.

• (a) 임의의 실수 $a$에 대해서

$$ \mathcal{F} \left[ f(x-a) \right] ( \xi ) = e^{-ia\xi}\hat{f}(\xi) \quad \mathrm{and} \quad \mathcal{F} \left[ e^{iax}f(x)\right] (\xi) = \hat{f}(\xi-a) $$

• (b) $\delta >0$에 대해서 $f_\delta (x) := \frac{1}{\delta}f ( \frac{x}{\delta} )$라고 정의하자. 그러면

$$ \mathcal{F}\left[ f_\delta \right] (\xi ) = (\mathcal{F}f)(\delta \xi) \quad \mathrm{and} \quad \mathcal{F} \left[ f(\delta x) \right] (\xi) = ( \mathcal{F} f ) _{\delta} (\xi) $$

• (c) $f$가 연속이면서 조각마다 매끄럽다고 하자. 그러면

$$ \mathcal{F} \left[ f^{\prime} \right] (\xi) = i \xi \mathcal{F} f (\xi) $$

한편, $xf(x)$가 적분 가능하면

$$ \mathcal{F} \left[ xf(x) \right] (\xi) = i ( \mathcal{F} f ) ^{\prime} (\xi) $$

• (d) 만약 $g\in L^{1}$이면

$$ \mathcal{F} \left[ f \ast g \right] (\xi)= \hat{f} (\xi) \hat{g}(\xi) $$

이때 $f \ast g$는 $f$와 $g$의 컨볼루션이다.

• (d’) $\left\{ f_{n} \right\} \subset L^{1}$에 대해서,

$$ \mathcal{F}\left[ f_{1} \ast f_{2} \ast \cdots \ast f_{n} \right]=\hat{f_{1}} \hat{f_{2}} \cdots \hat{f_{n}} $$

설명

(a) 평행이동과 지수함수를 곱하는 연산이 변환을 통해서 서로 바뀐다는 뜻이다. 평행이동을 하고 변환을 하면 지수함수가 곱해지고, 지수함수를 곱하고 변환을 하면 평행이동이 나타난다. (b) 비슷하게 변수에 $\delta$를 곱하는 것과 함수에 $_\delta$를 취하는 연산이 변환을 통해서 서로 바뀐다. (c) 도함수의 푸리에 변환은 푸리에 변환에 상수 $i\xi$를 곱한 것과 같다.

증명

(a)

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ f(x-a) \right] (\xi) &= \int f(x-a)e^{-i\xi x} dx \\ &= \int f(y)e^{-i\xi (y+a)} dy \\ &= e^{-ia\xi} \int f(y)e^{-i\xi y}dy \\ &= e^{-ia\xi} \hat{f}(\xi) \end{align*} $$

두번째 등호는 $x-a=y$로 치환하면 성립한다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F}\left[ e^{iax}f(x) \right] (\xi) &= \int f(x)e^{-i\xi x}e^{iax} dx \\ &= \int f(x) e^{-i(\xi-a)x}dx \\ &= \hat{ f }(\xi-a) \end{align*} $$

세번째 등호는 푸리에 변환의 정의에 의해 성립한다.

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(b)

(a)와 마찬가지로 쉽게 증명가능하다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ f_\delta \right] (\xi) &= \displaystyle {\int} f_\delta (x) e^{-i\xi x} dx \\ &= {\displaystyle \int} \dfrac{1}{\delta}f \left( \frac{x}{\delta} \right)e^{-i\xi x} dx \\ &= \displaystyle{ \int} f(y) e^{-i(\delta \xi )y} dy \\ &= \hat{f}(\delta\xi) \end{align*} $$

두번째 등호는 $\frac{x}{\delta}=y$로 치환하면 성립한다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ f(\delta x) \right] (\xi) &= \displaystyle{ \int} f(\delta x)e^{-i\xi x}dx \\ &= \dfrac{1}{\delta} \displaystyle{ \int} f(y)e^{-i(\xi / \delta)y} dy \\ &= \dfrac{1}{\delta} \hat{f} ( \xi / \delta) \\ &= \hat{f}_{\delta}(\xi) = ( \mathcal{F }f )_{\delta} (\xi) \end{align*} $$

두번째 등호는 $\delta x=y$로 치환하면 성립한다.

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(c)

우선

$$ \int_{0}^\infty f^{\prime}(x)dx=\lim \limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^tf^{\prime}(x)dt=\lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t)-f(0) $$

이고 $f^{\prime} \in L^{1}$이므로 $\displaystyle \int f^{\prime}(x)dx$가 존재하고, 따라서 $\lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t)$가 존재한다. 그리고 가정에 의해 $f \in L^{1}$이므로 그 값은 $0$이다. 그리고 이는 $\lim \limits_{t \rightarrow -\infty}f(t)$일 때도 마찬가지이므로

$$ \begin{equation} \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0 \label{eq1} \end{equation} $$

그러므로

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ f^{\prime} \right] (\xi) &= \int f^{\prime}(x)e^{-i\xi x} dx \\ &= \left[ e^{-i\xi x} f(x)\right]_{-\infty}^\infty + i\xi \int f(x) e^{-i \xi x} dx \\ &= i \xi \int f(x) e^{-i\xi x}dx \\ &= i \xi \hat{f}(\xi) \end{align*} $$

두번째 등호는 부분적분을 사용하면 성립한다. $\eqref{eq1}$에 의해 세번째 등호가 성립한다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ xf(x) \right] (\xi) &= \int x f(x)e^{-i \xi x}dx \\ &= i\dfrac{d}{d\xi} \int f(x) e^{-i \xi x}dx \\ &= i\dfrac{d}{d \xi} \mathcal{F} f (\xi) \\ &= i (\mathcal{F} f )^{\prime}(\xi) \end{align*} $$

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(d)

컨볼루션의 일반적인 정의를 생각해보면 사실 (d)는 성질이 아니라 정의이다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ f \ast g \right] (\xi) &= \int (f \ast g)(x)e^{-i \xi x}dx \\ &= \int \left[ \int f(x-y)g(y)dy\right]e^{-i \xi x}dx \\ &= \int \left[ \int f(x-y)g(y)dy\right]e^{-i \xi (x-y)}e^{-i\xi y}dx \\ &= \int \int f(x-y)g(y)e^{-i \xi (x-y)}e^{-i\xi y}dydx \\ &= \int \int f(x-y)g(y)e^{-i \xi (x-y)}e^{-i\xi y}dxdy \\ &= \int \left[ \int f(x-y)e^{-i \xi (x-y)}dx \right] g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \int \left[ \int f(z)e^{-i \xi z}dz \right] g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \int \hat{f}(\xi) g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \hat{f}(\xi)\int g(y)e^{-i \xi y} dy \\ &= \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi) \end{align*} $$

일곱번째 등호는 $x-y=z$로 치환하면 성립한다.

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(d')

컨볼루션은 결합법칙이 성립하므로 (d) 에 의해서 바로 성립한다.

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