📂집합론

실수의 기수와 유리수의 기수의 크기 비교

정리 ¹

$\operatorname{card}(\mathbb{Q})={{ \aleph }_{ 0 }}, \operatorname{card}(\mathbb{R})=c$ 에 대해 $${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =c \\ {{ \aleph }_{ 0 }}<c$$

설명

칸토어의 대각선 논법을 보면 짐작할 수 있듯, 유리수의 집합보다 실수의 집합이 훨씬 많은 원소를 갖는다. 그 기수는 구체적으로 부등식을 세워서 보일 수 있다.

증명

Part 1. $c \le 2^{\aleph_{0}}$

함수 $f : \mathbb{R} \to \wp (\mathbb{Q})$ 를 $f(a):={x\in \mathbb{Q}|x<a, a\in \mathbb{R}}$ 와 같이 정의하자. 실수의 조밀성 의해 두 실수 $a<b$ 에 대해 $a<r<b$를 만족하는 유리수 $r$ 이 존재한다. $r<b$ 이므로 $r\in f(b)$ 지만 $a<r$ 이므로 $r\notin f(a)$ 즉, $f(a)\neq f(b)$ 이다. 따라서 $f$ 는 단사함수고, 보조정리에 따라 $$\operatorname{card}(\mathbb{R})\le \operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))$$ $\operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))= { 2 }^{ \operatorname{card}(\mathbb{Q}) }= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$ 이므로 $$c=\operatorname{card}(\mathbb{R})\le \operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$$

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Part 2. $2^{\aleph_{0}} \le c$

함수 $g : { {0,1} }^{ N } \to \mathbb{R}$ 을 $g(a):=0. { a }_{ 1 } { a } _{ 2 } { a }_{ 3 }\cdots$, ($a$ 는 ${ {0,1} }^{ N }$ 의 원소) 와 같이 정의하자. $g$ 의 함수값은 $0.00101101\cdots$ 과 같이 $0$ 과 $1$ 로 이루어진 소수표기로 나타낼 수 있다.

${ {0,1} }^{ N }$ 의 두 원소 $a,b$ 에 대해 $a\neq b$ 면 $g(a)\neq g(b)$ 이므로 $g$ 는 단사함수고, $$\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) \le \operatorname{card}(\mathbb{R})$$ $\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) = { 2 }^{ \operatorname{card}(N) }= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$ 이므로 $${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) \le \operatorname{card}(\mathbb{R})=c$$

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Part 3. $\aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}}$

${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } \ge c$ 이고 ${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } \le c$ 이므로 $${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =c$$

칸토어의 정리: 임의의 집합 $X$와 그 멱집합 $\wp (X)$ 에 대해 $\operatorname{card}(X)<\operatorname{card}(\wp (X))$

칸토어의 정리에 의해 ${{ \aleph }_{ 0 }}< { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$ 이 성립하므로 ${{ \aleph }_{ 0 }}<c$ 이고, $$\aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}}$$

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