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삼각함수의 평행이동과 도함수의 관계 📂함수

삼각함수의 평행이동과 도함수의 관계

공식

  • [1] 사인: sin⁡(θ+n2π)=sin⁡(n)θ\sin{\left( \theta +\frac { n }{ 2 }\pi \right)}={ \sin }^{ (n) }\theta
  • [2] 코사인: cos⁡(θ+n2π)=cos⁡(n)θ\cos{\left( \theta +\frac { n }{ 2 }\pi \right)}={ \cos }^{ (n) }\theta
  • (n)(n) 은 nn 번만큼 미분을 했다는 뜻이다.

설명

쉽게 말해서, 90˚만큼 움직일 때마다 미분을 한번씩 하면 된다. 실제로 n=3n=3 에 대해서 계산을 해보자.

덧셈정리를 사용한 방법

cos⁡(θ+32π)=cos⁡θcos⁡32π−sin⁡θsin⁡32π=cos⁡θ⋅0−sin⁡θ⋅(−1)=sin⁡θ \begin{align*} \cos \left( \theta +{3 \over 2}\pi \right) =& \cos\theta \cos\frac { 3 }{ 2 }\pi -\sin\theta \sin\frac { 3 }{ 2 }\pi \\ =& \cos\theta \cdot 0-\sin\theta \cdot (-1) \\ =& \sin\theta \end{align*}

공식을 사용한 방법

cos⁡(3)θ=(cos⁡θ)′′′=(−sin⁡θ)′′=(−cos⁡θ)′=sin⁡θ \begin{align*} { \cos }^{ (3) }\theta =& (\cos\theta )\prime \prime \prime \\ =& (-\sin\theta )\prime \prime \\ =& (-\cos\theta )\prime \\ =& \sin\theta \end{align*}

당연히 덧셈정리를 써서 구하는 것보다 미분을 세번하는 게 편하다. 사실 문제풀이에서 90˚90˚만큼 평행이동 하는 경우가 그렇게 많이 주어지지는 않기 때문에 자주 쓰지는 않지만 매우 간단한 공식이니까 외운다기보단 숙지한다는 느낌으로 알아두면 도움이 될 것이다.