삼각함수의 평행이동과 도함수의 관계
공식
- [1] 사인: $$\sin{(\theta +\frac { n }{ 2 }\pi )}={ \sin }^{ (n) }\theta$$
- [2] 코사인: $$\cos{(\theta +\frac { n }{ 2 }\pi )}={ \cos }^{ (n) }\theta$$
- $(n)$ 은 $n$ 번만큼 미분을 했다는 뜻이다.
설명
쉽게 말해서, 90˚만큼 움직일 때마다 미분을 한번씩 하면 된다. 실제로 $n=3$ 에 대해서 계산을 해보자.
덧셈정리를 사용한 방법
$$ \begin{align*} \cos(\theta +{3 \over 2}\pi ) =& \cos\theta \cos\frac { 3 }{ 2 }\pi -\sin\theta \sin\frac { 3 }{ 2 }\pi \\ =& \cos\theta \cdot 0-\sin\theta \cdot (-1) \\ =& \sin\theta $ \end{align*} $$
공식을 사용한 방법
$$ \begin{align*} { \cos }^{ (3) }\theta =& (\cos\theta )’’’ \\ =& (-\sin\theta )’’ \\ =& (-\cos\theta )’ \\ =& \sin\theta \end{align*} $$
당연히 덧셈정리를 써서 구하는 것보다 미분을 세번하는 게 편하다. 사실 문제풀이에서 $90˚$만큼 평행이동 하는 경우가 그렇게 많이 주어지지는 않기 때문에 자주 쓰지는 않지만 매우 간단한 공식이니까 외운다기보단 숙지한다는 느낌으로 알아두면 도움이 될 것이다.