비선형 1계 미분방정식의 경계의 직선화
빌드업
비선형 1계 미분 방정식의 특성 방정식을 쉽게 풀기 위한 방법 중 하나는 정의역 $\Omega$의 경계인 $\partial \Omega$의 어떤 작은 부분인 $\Gamma$를 곧게 펴주는 것이다. 이는 항상 가능한 일이므로 경계 위의 점 $x^{0}$의 근방에서는 경계가 곧은 직선이라고 처음부터 가정하고 문제를 접근할 수 있다. 이를 경계의 직선화straightening the boundary라고 한다.
$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$은 열린 집합이고 $\partial \Omega$가 $C^{2}$라고 하자. 그리고 편미분방정식 $F \in C^{1}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \times \bar \Omega)$가 주어졌다고 하자. 그리고 다음과 같은 경계조건이 주어졌다고 하자.
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} F(Du,\ u,\ x)&=0 && \text{in } \Omega \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{aligned} \right. \end{equation} $$
이때 $\Gamma \subset \partial \Omega$이고 $g : \Gamma \to \mathbb{R}$이다.
설명
경계위의 고정된 점 $x^{0} \in \partial \Omega$가 있다. 그리고 변환 $\Phi\ :\ \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$를 다음과 같이 정의한다.
$$ \left\{ \begin{align*} \Phi (\Omega) &:= V \\ \Phi (x) &:= \left( \Phi^{1}(x),\ \cdots, \Phi^{n}(x) \right) = (y_{1},\ \cdots,\ y_{n})=y, \quad y \in V \\ y_{i}=\Phi^{i}(x) &:= x_{i}, \quad x \in \mathbb{R}^{n}\ (i=1,\cdots, n-1) \\ y_{n}=\Phi^{n}(x) &:= x_{n}-\gamma (x_{1},\cdots,x_{n-1}), \quad x \in \mathbb{R}^{n} \end{align*} \right. $$
즉 $\Phi$는 경계의 어떤 부분의 $n$번째 좌표를 $0$으로 만들어주는 변환이다. 이는 정의에 의해서 전단사임이 자명하다. 따라서 역변환이 존재하고 이를 $\Psi$라고 하자.
$$ \left\{ \begin{align*} {l}\Psi (y) &:= \Phi^{{}-1}(y) \\ \Psi^{i}(y) &= x_{i}=y_{i}, \quad y \in \mathbb{R}^{n}\ (i=1,\cdots, n-1) \\ \Psi^{n}(y) &= x_{n}=y_{n}+\gamma (x_{1},\cdots,x_{n-1}), \quad x \in \mathbb{R}^{n} \end{align*} \right. $$
이를 그림으로 나타내면 아래와 같다.
이제 $\Gamma \subset \partial \Omega$가 열린 집합이고 $g\in C(\Gamma)$라고 하자. 그리고 고정된 점 $x^{0} \in \Gamma$가 주어졌다고 하자. 그리고 $u \in C^{1} (\Omega)\cap C(\bar \Omega)$가 경계조건 $(1)$을 푸는 해라고 가정하자. 그리고 $v$를 아래와 같이 정의하자.
$$ v(y) := u(\Psi (y)) \quad \forall\ y\in V $$
다시 말해 $V$에서 $u$와 같은 함숫값을 가지는 $v$를 정의한 것이다. 그러면 다음이 성립한다.
$$ u(x)=v(\Phi (x)) \quad \forall\ x\in \Omega $$
이제 $Du, u, x$가 $V$에서 어떻게 되는지 알아보자. 우선 $u_{x_{i}}$부터 계산해보면 다음과 같다.
$$ u_{x_{i}}(x)=\sum \limits _{k=1}^{n} v_{y_{k}} \left( \Phi (x) \right) \Phi^{k}_{x_{i}}(x) $$
따라서
$$ \begin{align*} Du(x) &= \left( \sum \limits _{k=1}^{n} v_{y_{k}} \left( \Phi (x) \right) \Phi^{k}_{x_{1}}(x),\ \cdots,\ \sum \limits _{k=1}^{n} v_{y_{k}} \left( \Phi (x) \right) \Phi^{k}_{x_{n}}(x) \right) \\ &= (v_{y_{1}}\Phi^{1}_{x_{1}}+\cdots+v_{y_{n}}\Phi^{n}_{x_{1}},\ \cdots ,\ v_{y_{1}}\Phi^{1}_{x_{n}}+\cdots+v_{y_{n}}\Phi^{n}_{x_{n}} ) \\ &= \begin{pmatrix} v_{y_{1}} & v_{y_{2}} & \cdots & v_{y_{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi^{1}_{x_{1}} & \Phi^{1}_{x_{2}} & \cdots &\Phi^{1}_{x_{n}} \\ \Phi^{2}_{x_{1}} & \Phi^{2}_{x_{2}} & \cdots & \Phi^{2}_{x_{n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Phi^{n}_{x_{1}} & \Phi^{n}_{x_{2}} & \cdots & \Phi^{n}_{x_{n}} \end{pmatrix} \\ &= Dv\left( \Phi (x) \right) D\Phi (x) \end{align*} $$
혹은
$$ Du(\Psi (y)) = Dv(y) D\Phi (\Psi (y)) $$
그러면 $(1)$의 식은 다음과 같다.
$$ F\Big( Du(\Psi (y) ), u( \Psi (y) ), \Psi (y) \Big) = F\Big( Dv(y)D\Phi (\Psi (y)), v(y), \Psi (y) \Big)=0 $$
이제 다음과 같이 비선형 1계 편미분 방정식을 정의하자.
$$ G(q, w, y):=F \Big (q D\Phi (\Psi (y) ), w, \Psi (y) \Big), \quad \forall (q, w, y)\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\times\bar V $$
그러면 $G\in C^{1}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \times \bar V)$이고 위의 결과들로부터 아래의 식이 성립한다.
$$ G \Big( Dv(y),\ v(y),\ y \Big)=0, \quad \forall y\in V $$
그리고 $\Delta:=\Phi (\Gamma)$이고 $h(y):=g(\Phi (y)) \quad y \in \Delta$라고 정의하자. 그러면 $\Delta$는 열린 집합이고 $\Delta \subset \partial V$이다. 그리고 $\Delta$는 $y^{0}$ 근방에서 평평하다. 요약하자면, 위에서 정의한 $v \in C^{1}(V) \cap C(\bar V)$는 아래의 경계조건을 만족하는 해가 된다.
$$ \left\{ \begin{align*} G(Dv,\ v,\ y) &= 0 && \text{in } V \\ v &= h && \text{on } \Delta \subset \partial V \end{align*} \right. $$
이는 $(1)$과 경계의 어떤 임의로 선택한 부분이 평평하다는 것 밖에 다르지 않고 그 외에는 전부 같다. 그리고 항상 이렇게 경계를 평평하게 펴줄 수 있으므로 처음부터 주어진 문제가 이렇다고 가정하고 풀 수 있다.