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정수 모듈로 군 📂추상대수

정수 모듈로 군

정의

임의의 자연수 nn에 대해서, 집합 Zn\mathbb{Z}_{n}과 이항연산 ++가 다음과 같다고 하자.

Zn={0,1,2,⋯ ,n−1}a+b=(a+b)mod  n \mathbb{Z}_{n} = \{ 0, 1, 2, \cdots, n-1 \} \\ a + b = (a + b) \mod n

이때 mod⁡\operatorname{mod}는 모듈로 연산이다. 이항연산구조 (Zn,+)(\mathbb{Z}_{n}, +)를 정수 모듈로 (덧셈)군(additive) group of integer modulo nn이라 한다. 간단히 Zn\mathbb{Z}_{n}으로 표기한다.

설명

이항연산구조 (Zn,+)(\mathbb{Z}_{n}, +)은 군의 정의를 만족한다.

  • 항등원
    항등원은 정수 00이다. a∈Zna \in \mathbb{Z}_{n}에 대해서, a+0=0+a=a a + 0 = 0 + a = a

  • 역원
    a∈Zna \in \mathbb{Z}_{n}에 대한 역원은 n−an - a이다. a+(n−a)=nmod  n=0 a + (n - a) = n \mod n = 0

  • 결합법칙
    모듈로 연산에 대해서 (amod  n)+(bmod  n)=(a+b)mod  n(a \mod n) + (b \mod n) = (a + b) \mod n가 성립하기 때문에 결합법칙이 성립한다. (a+b)+c=(a+b)+c (a + b) + c = (a + b) + c

예

nn이 작을 때의 예를 구체적으로 보면 아래와 같다.

Z2\mathbb{Z}_{2}

Z201001110 \begin{array}{c|cc} \mathbb{Z}_{2} & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}

Z3\mathbb{Z}_{3}

Z3012001211202201 \begin{array}{c|ccc} \mathbb{Z}_{3} & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array}

Z4\mathbb{Z}_{4}

Z4012300123112302230133012 \begin{array}{c|cccc} \mathbb{Z}_{4} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}