📂추상대수

정수 모듈로 군

정의

임의의 자연수 $n$에 대해서, 집합 $\mathbb{Z}_{n}$과 이항연산 $+$가 다음과 같다고 하자.

$$ \mathbb{Z}_{n} = \{ 0, 1, 2, \cdots, n-1 \} \\ a + b = (a + b) \mod n $$

이때 $\operatorname{mod}$는 모듈로 연산이다. 이항연산구조 $(\mathbb{Z}_{n}, +)$를 정수 모듈로 (덧셈)군^{(additive) group of integer modulo $n$}이라 한다. 간단히 $\mathbb{Z}_{n}$으로 표기한다.

설명

이항연산구조 $(\mathbb{Z}_{n}, +)$은 군의 정의를 만족한다.

• 항등원
  항등원은 정수 $0$이다. $a \in \mathbb{Z}_{n}$에 대해서, $$ a + 0 = 0 + a = a $$

• 역원
  $a \in \mathbb{Z}_{n}$에 대한 역원은 $n - a$이다. $$ a + (n - a) = n \mod n = 0 $$

• 결합법칙
  모듈로 연산에 대해서 $(a \mod n) + (b \mod n) = (a + b) \mod n$가 성립하기 때문에 결합법칙이 성립한다. $$ (a + b) + c = (a + b) + c $$

예

$n$이 작을 때의 예를 구체적으로 보면 아래와 같다.

$\mathbb{Z}_{2}$

$$ \begin{array}{c|cc} \mathbb{Z}_{2} & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} $$

$\mathbb{Z}_{3}$

$$ \begin{array}{c|ccc} \mathbb{Z}_{3} & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} $$

$\mathbb{Z}_{4}$

$$ \begin{array}{c|cccc} \mathbb{Z}_{4} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array} $$