테스트 함수 공간에서의 수렴
테스트 함수 공간에서는 ‘수렴’을 특별하게 정의한다. 어떤 공간 $X$가 주어졌을 때 $X$에서 정의된 놈이나 거리를 이용해서 수렴을 정의하는것이 보통이다. 하지만 테스트 함수 공간에서는 초함수를 잘 정의하고 다룰 수 있도록 더 강력한 조건으로 수렴을 정의한다.
정의
$\Omega \subset \mathbb{R}^n$가 열린 집합, $\left\{ \phi _{j} \right\}$가 테스트 함수의 수열이라고 하자. $\left\{ \phi_{j} \right\}$가 아래의 두 조건을 만족할 때, $\mathcal{D}(\Omega)$의 센스 에서 $0$으로 수렴 한다고 하고 다음과 같이 표기한다.
$$ \phi_{j} \overset{\mathcal{D}}{\to} 0 $$
(a) $\mathrm{supp} (\phi_{j}) \subset K\quad \forall\ j$ 를 만족하는 $K \Subset \Omega$가 존재한다.
(b) 각각의 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해서 $D^{\alpha}\phi_{j}$가 $0$으로 균등하게 수렴한다.
$$ D^{\alpha}\phi_{j} \rightrightarrows 0 $$
이때 $\mathrm{supp}$는 서포트를 의미한다.
설명
저자에 따라 용어가 조금씩 다를 수 있지만 용어 자체가 중요한 것은 아니다.
$\mathcal{D}$ 공간의 센스에서 수렴한다: converge in the sense of the space $\mathcal{D}$1
$\mathcal{D}$에서 수렴한다: converge in $\mathcal{D}$2
물론 특정한 교재나 강의 내에서 헷갈릴 여지가 없는 경우 간단하게 $\phi_{j} \to 0$과 같이 표기할 수 있다. 정의 (b) 에 의해서 $\mathcal{D}$에서 수렴하면 일반적인 의미에서의 수렴도 성립한다. 위의 정의를 $0$이 아닌 모든 $\phi$에 대해 일반적으로 기술하면 다음과 같다.
$\Omega \subset \mathbb{R}^n$가 열린 집합, $\left\{ \phi _{j} \right\}$가 테스트 함수의 수열이라고 하자. $\left\{ \phi_{j} \right\}$가 아래의 두 조건을 만족할 때, $\mathcal{D}(\Omega)$의 센스에서 $\phi$로 수렴한다고 하고 $\phi_{j} \to \phi \text{ in } D(\Omega)$라고 표기한다.
(a) $\mathrm{supp} (\phi_{j}-\phi) \subset K\quad \forall\ j$ 를 만족하는 $K \Subset \Omega$가 존재한다.
(b) 각각의 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해서 $D^{\alpha}\phi_{j}$가 $D^{\alpha} \phi$로 균등하게 수렴한다. $$ D^{\alpha}\phi_{j} \rightrightarrows D^{\alpha}\phi $$