📂전자기학

지연 시각 연속 분포에 대한 지연 전위

개요¹

움직이는 점전하에 대한 스칼라 전위와 벡터 전위를 지연 전위^{retarded potential}이라 하고, 이는 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r},\ t) &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{ \cR } d\tau^{\prime} \\[1em] \mathbf{A}( \mathbf{r},\ t) &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR}d\tau^{\prime} \end{align*} $$

이때 $t_{r}$은 지연시각이다.

지연시각

전하와 전류분포가 시간에 따라 변하지 않으면 스칼라 전위와 벡터 전위는 다음의 푸아송 방정식을 만족한다.

$$ \nabla^2 V=-\dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho,\quad \nabla^2 \mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J} $$

이를 풀면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime}) }{ \cR } d\tau^{\prime},\quad \mathbf{A}( \mathbf{r} ) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}d\tau^{\prime} \end{equation} $$

$\bcR$는 분리 벡터이다.

그런데 전자기파는 광속으로 진행하므로 전류 분포가 움직인다면 '현재 시각'의 전위는 현재의 전류 분포에 의한 것이 아니라 '과거의 어떤 시각'에서의 전류 분포에 의한 것이다. 중요한 것은 지금의 전류 분포가 아니라 전자기파가 출발한 '과거의 어떤 시각'에서의 전류 분포이다. 지나온 거리가 $\cR$이고, 광속은 $c$이므로, 현재 $\mathbf{r}$에 도착한 전자기파가 출발한 시각은 아래와 같다.

$$ t_{r} \equiv t-\dfrac{\cR}{c} $$

이를 지연 시각^{retarded time} 이라 한다. 조금더 쉽게 말하자면 '지금' 시각 $t$에 도착한 소식²이 출발했을 당시의 시각을 지연시각이라 한다. 시간이 아니라 시각이라고 표현하는 것은 이 때문이다. 움직이는 점전하, 전류분포를 다룰 때 분리 벡터는 $\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$가 아니라 $\bcR=\mathbf{r}-\mathbf{w}$이다.

지연 전위

그러므로 시간에 따라 전하 분포가 변할 때, 즉 전하가 움직일 때에 대해서 $(1)$을 일반화하면 다음과 같다.

$$ V(\mathbf{r},\ t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{ \cR } d\tau^{\prime},\quad \mathbf{A}( \mathbf{r},\ t) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR}d\tau^{\prime} $$

$\rho (\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})$은 시각이 $t_{r}$일 때 점 $\mathbf{r}^{\prime}$에서의 전하 밀도이다. 위의 두 지연 시각에 대한 전위를 지연 전위라고 한다. 두 식을 수학적으로 이끌어 낸 것은 아니다. 다만 물리적으로 맞는 논리로 그럴듯하게 설명했다. 따라서 논리적인 비약이 있지만 다행히도 결과는 실제로 잘 들어맞는다. 이를 증명하려면 새로 얻은 전위가 아래의 파동 방정식 $(2)$과 로렌츠 게이지 $(3)$를 만족하는지 확인해야한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \Box ^2 V &= -\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho \\ \Box ^2 \mathbf{A} &= -\mu_{0}\mathbf{J} \end{aligned} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{A} = -\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial V}{\partial t} \end{equation} $$

이렇게 꼼꼼하게 확인해야하는 이유는 같은 논리를 전위가 아닌 전기장, 자기장에 적용했을 경우 실제와 맞지 않는 결과를 얻기 때문이다.