📂편미분방정식

특성 방정식을 이용한 비선형 1계 편미분 방정식의 풀이

설명¹

• x와 p에 대해서, 편미분방정식의 변수임을 강조할 때는 일반 글씨체 $x,p \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기하고, $s$에 대한 함수임을 강조할 때는 굵은 글씨체 $\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기한다.

특성 방정식

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{p}} (s) = -D_{x}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)-D_{z}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)\mathbf{p}(s) \\ \dot{z}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \cdot \mathbf{p}(s) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \end{cases}$$

특성 방정식을 이용한 비선형 1계 편미분 방정식의 풀이는 미분 방정식이 어떻게 주어지느냐에 따라서 조금씩 다르다. 이는 주어진 미분방정식의 선형성으로 구분하며 선형, 준선형, 완전 비선형인 경우에 따라 풀이가 다르다. 비선형인 정도가 셀 수록 어렵다.

풀이

동차 선형

주어진 편미분방정식이 완전히 선형이라면 가장 쉽게 풀 수 있다. 특성 방정식의 $\mathbf{p}(s)$에 대한 조건이 필요하지 않을 정도로 간단하다. 다음과 같은 선형이고 동차인 미분방정식을 생각해보자.

$$\begin{equation} F(Du, u, x) = \mathbf{b}(x)\cdot Du(x)+c(x)u(x)=0 \quad (x\in \Omega \subset \mathbb{R}^{n}) \label{eq1} \end{equation}$$

여기서 $F$의 각 변수를 $p, z, x$라고 두면 다음과 같다.

$$\begin{equation} F(p,\ z,\ x)=\mathbf{b}(x)\cdot p +c(x)z=b_{1}p_{1}+\cdots +b_{n}p_{n}+cz = 0 \label{eq2} \end{equation}$$

$D_{p}F$를 구해보면 다음과 같다.

$$D_{p}F=(F_{p_{1}}, \dots, F_{p_{n}})=(b_{1}, \dots, b_{n})=\mathbf{b}(x)$$

그러면 특성 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{\mathbf{x}}(s) &= \mathbf{b}(x) \\ \dot{z}(s) &= \mathbf{b}(\mathbf{x}(s))\cdot \mathbf{p}(s) \end{align*}$$

이때 $(2)$에 의해서 $\dot{z}(s)$는 다음과 같다.

$$\dot{z}(s) = -c(\mathbf{x}(s))z$$

따라서 동차 선형 1계 편미분 방정식의 특성 방정식은 아래와 같다.

$$\left\{ \begin{align*} \dot{\mathbf{x}}(s)&=\mathbf{b}(x) \\ \dot{z}(s) &= -c(\mathbf{x}(s))z \end{align*} \right.$$

이때 $\mathbf{p}(s)$에 대한 특성방정식은 문제를 푸는데 필요하지 않음을 예를 통해서 확인할 수 있다.

예

다음과 같은 미분방정식이 주어졌다고 하자.

$$\left\{ \begin{align*} x_{1} u_{x_{2}} - x_{2} u_{x_{1}} &= u && \text{in } \Omega \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{align*} \right.$$

• $\Omega=\left\{ x_{1}>0,\ x_{2}>0 \right\}$
• $\Gamma=\left\{ x_{1}>0,\ x_{2}=0 \right\}$

그러면 $(1)$에서 $\mathbf{b}=(-x_{2},\ x_{1}), c=-1$인 경우이다. 따라서 특성 방정식은 다음과 같다.

$$\left\{ \begin{align*} \dot{x}^{1} &= -x^{2} \\ \dot{x}^{2} &=x^{1} \\ \dot{z}&=z \end{align*} \right.$$

이는 간단한 상미분 방정식이므로 다음과 같이 쉽게 풀 수 있다.

$$\left\{ \begin{align*} x^{1}(s) &=x^{0}\cos s \\ x^{2}(s)&=x^{0} \sin s \\ z(s)&=z^{0}e^s=g(x^{0})e^s \end{align*} \right.$$

여기서 $x^{0}$는 $s=0$일 때 $x_{1}-$축$(\Gamma)$을 지나도록 정한 상수이다. 그러면 경계 조건 $z=u=g\ \mathrm{on}\ \Gamma$에 의해 $s=0$일 때 $z(0)=z^{0}=g(x^{0})$이다. 이제 점 $(x_{1},\ x_{2}) \in \Omega$를 고정하자.

$$(x_{1},\ x_{2})=(x^{1}(s),\ x^{2}(s)) = (x^{0} \cos (s),\ x^{0} \sin (s))$$

그러면 $s>0, x^{0}>0$에 대해서 다음을 얻는다.

$$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x^{0})^{2}\cos^{2}(s) + (x^{0})^{2}\sin^{2}(s) = (x^{0})^{2} \implies x^{0}=({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})^{1/2} \\ \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{x^{0}\sin (s)}{x^{0} \cos (s)} = \tan (s) \implies s=\arctan \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)$$

따라서 방정식의 해는 다음과 같다.

$$\begin{align*} u(x)&=u(x^{1}(s),\ x^{2}(s)) \\ &= z(s) \\ &=g(x^{0})e^s \\ &= g(({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})^{1/2})e^{\arctan \left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)} \end{align*}$$

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준선형

아래와 같이 주어진 미분 방정식이 최고 미분항에 대해 선형인 경우를 말한다. 지금 다루는 것은 1계 미분 방정식이므로 1계 미분항에 대해서 선형인 경우이다.

$$F(Du,\ u,\ x)=\mathbf{b}(x,\ u(x))\cdot Du(x)+c(x,\ u(x))=0$$

여기서 $F$의 각 변수를 $p, z, x$라고 두면 다음과 같다.

$$\begin{equation} F(p, z, x)=\mathbf{b}(x, z)\cdot p + c(x, z)=b_{1}p_{1} + \cdots + b_{n} p_{n} +c=0 \label{eq3} \end{equation}$$

$D_{p}F$를 구해보면 다음과 같다.

$$D_{p}F=(F_{p_{1}},\ \cdots,\ F_{p_{n}})=(b_{1},\ \cdots,\ b_{n})=\mathbf{b}(x,\ z)$$

그러면 특성방정식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{\mathbf{x}}(s) &= \mathbf{b}(\mathbf{x}(s),\ z(s)) \\ \dot{z}(s) &= \mathbf{b}(\mathbf{x}(s),\ z(s))\mathbf{p}(s)=-c(\mathbf{x}(s),\ z(s)) \end{align*}$$

$\dot{z}$의 두번째 등호는 $(3)$에 의해 성립한다. 이 경우에도 역시 $\mathbf{p}(s)$에 대한 조건은 문제를 푸는데 필요하지 않다.

예

다음과 같은 미분방정식이 주어졌다고 하자.

$$\left\{ \begin{align*} u_{x_{1}} + u_{x_{2}} &= u^{2} && \text{in } \Omega \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{align*} \right.$$

• $\Omega=\left\{ x_{2}>0 \right\}$
• $\Gamma=\left\{x_{2}=0 \right\}$

그러면 $(3)$에서 $\mathbf{b}=(1,\ 1)$, $c=-z^{2}$인 경우이다. 따라서 특성 방정식은 다음과 같다.

$$\left\{ \begin{align*} \dot{x}^{1} &=1, \dot{x}^{2}=1 \\ \dot{z} &= z^{2} \end{align*} \right.$$

이는 각각 간단한 상미분 방정식이므로 풀어주면 다음과 같다.

$$\left\{ \begin{align*} x^{1}(s) &= x^{0}+s, x^{2}(s)=s \\ z(s)&=\frac{z^{0}}{1-sz^{0}}=\frac{g(x^{0})}{1-sg(x^{0})} \end{align*} \right.$$ $x^{0}$는 $s=0$일 때 $x_{2}-$축$(\Gamma)$을 지나도록 정한 상수이다. 이제 점 $(x_{1},\ x_{2}) \in \Omega$를 고정하자.

$$(x_{1}, x_{2})=(x^{1}(s), x^{2}(s))=(x^{0}+s, s)$$

그러면 $s>0, x^{0} \in \mathbb{R}$에 대해서 다음을 얻는다. $$s=x_{2}, \quad x^{0}=x_{1}-x_{2}$$

따라서 방정식의 해는 다음과 같다.

$$\begin{align*} u(x) &= u(x^{1}(s),\ x^{2}(s)) \\ &= z(s) \\ &= \frac{g(x^{0})}{1-sg(x^{0})} \\ &= \frac{g(x_{1}-x_{2})}{1-x_{2}g(x_{1}-x_{2})} \end{align*}$$

물론 $1-x^{2}g(x_{1}-x_{2})\ne 0$일 때만 성립한다.

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완전 비선형

다음과 같은 미분방정식이 주어졌다고 하자.

$$\begin{align*} u_{x_{1}}u_{x_{2}} &= u && \text{in } \Omega \\ u &= x_{2}^{2} && \text{on } \Gamma \end{align*}$$

• $\Omega=\left\{ x_{1}>0 \right\}$
• $\Gamma=\left\{x_{1}=0 \right\}$

$F$의 변수를 $P, z, x$로 쓰면 다음과 같다.

$$F(p, z, x)=p_{1}p_{2}-z$$

따라서 특성 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{p}^{1} &= p^{1},\quad \dot{p}^{2}=p^{2} \\ \dot{z} &= 2p^{1}p^{2} \\ \dot{x}^{1} &= p^{2},\quad \dot{x}^{2}=p^{1} \end{align*}$$

우선 $p$에 대한 미분방정식을 풀면 다음과 같다.

$$p^{1}(s)=p_{1}^{0}e^s,\ \ p^{2}(s)=p_{2}^{0}e^s$$

이때 $p_{1}^{0}=p(0)$, $p_{2}^{0}=p(0)$이다. 그러면 $\dot{z}(s)=2p_{1}^{0}p_{2}^{0}e^{2s}$이므로 $z$는 다음과 같다.

$$z(s)=p_{1}^{0}p_{2}^{0}e^{2s}+C$$

$z(0)=z^{0}=p_{1}^{0}p_{2}^{0}+C$이므로 $C=z^{0}-p_{1}^{0}p_{2}^{0}$이다. 따라서 다음과 같다.

$$z(s)=z^{0}+p_{1}^{0}p_{2}^{0}(e^{2s}-1)$$

비슷한 방법으로 $x^{1}$과 $x^{2}$까지 구해보면 다음과 같다.

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} p^{1}(s) &= p_{1}^{0}e^s \\ p^{2}(s) &= p_{2}^{0}e^s \\ z(s) &= z^{0}+p_{1}^{0}p_{2}^{0}(e^{2s}-1) \\ x^{1}(s) &= p_{2}^{0}(e^s-1) \\ x^{2}(s) &= x^{0}+p_{1}^{0}(e^s-1) \end{aligned} \right. \label{eq4} \end{equation}$$

이때 $x^{0}$는 $s=0$일 때 $x_{1}-$축$(\Gamma)$를 지나도록 정한 상수이다. $u_{x_{2}}=p^{2}$이고 경계조건에 의해 $x_{1}=0$일 때($s=0$일 때) $u=x_{2}^{2}$이므로, $p_{2}^{0}=u(0,\ x^{0})=2x^{0}$이다. 또한 주어진 미분 방정식이 $u_{x_{1}}u_{x_{2}}=u$이므로 $p_{1}^{0}p_{2}^{0}=z^{0}=(x^{0})^{2}$이고 $p_{1}^{0}=\frac{x^{0}}{2}$이다. 이를 모두 $(4)$에 대입하면 다음을 얻는다.

$$\left\{ \begin{align*} p^{1}(s) &= \frac{x^{0}}{2}e^s \\ p^{2}(s) &= 2x^{0}e^s \\ z(s) &= (x^{0})^{2}e^{2s} \\ x^{1}(s) &= 2x^{0}(e^s-1) \\ x^{2}(s) &= x^{0}+\frac{x^{0}}{2}(e^s-1) \end{align*} \right.$$

이제 점 $(x_{1}, x_{2})\in \Omega$를 고정하자.

$$(x_{1}, x_{2})=(x^{1}(s), x^{2}(s))=\left( 2x^{0}(e^s -1), \frac{x^{0}}{2}(e^s+1) \right)$$

그러면 $s,\ x^{0}$에 대해서 다음을 얻는다.

$$x^{0}=\frac{4x_{2}-x_{1}}{4},\ \ e^s=\frac{x_{1}+4x_{2}}{4x_{2}-x_{1}}$$

따라서 방정식의 해는 다음과 같다.

$$u(x)=u(x^{1}(s),\ x^{2}(s))=z(s)=(x^{0})^{2}e^{2s}=\dfrac{(x_{1}+4x_{2})^{2}}{16}$$

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