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사인파와 복소 파동함수 📂물리학

사인파와 복소 파동함수

정의

파동을 삼각함수로 표현한 것을 사인파sinusoidal wave라고 한다.

설명

사인파의 일반적인 꼴은 다음과 같다. 사인파라고 해놓고 수식이 cos⁡\cos인 이유는, 아래에서 설명하겠지만 복소파동함수의 실수부가 cos⁡\cos이기 때문이다. sin⁡\sin은 허수부이다.

f(x,t)=Acos⁡(k(x−vt)+δ) f(x,t) = A \cos \big( k(x-vt)+\delta \big)

이때 AA를 파동의 진폭amplitute, 코사인 함수의 변수 k(z−vt)+δk(z-vt)+\delta를 위상phase, δ\delta를 위상상수phase constant라 한다. 위상상수에 2π2\pi를 더해도 f(x,t)f(x,t)는 변하지 않는다. 따라서 보통의 경우 위상상수로 0≤δ<2π0\le \delta \lt 2\pi의 범위의 값을 사용한다. kk는 파수wave number이며 파장wavelength λ\lambda와는 다음과 같은 관계를 가진다.

k=2πλ k=\dfrac{2\pi}{\lambda}

파동이 완전하게 한 번 순환하는 시간을 주기period라 한다. 시간=거리/속도이므로 파동의 주기 TT는

T=λv=2πkv T=\dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{2 \pi}{kv}

주기가 한 번 진동하는데 걸리는 시간이므로 단위시간동안 진동하는 횟수인 진동수frequency ν\nu는 당연히 주기의 역수와 같다.

ν=1T=vλ \nu=\dfrac{1}{T}=\dfrac{v}{\lambda}

각진동수angular frequency는 흔히 ω\omega로 표기하며 진동을 등속 원운동에 대응시켜 표현하는 것이다. 진동수를 단위시간동안 회전하는 각도로 바꾼 값이며 단위는 라디안이다.

ω=2πν=2π1T=kv \omega=2\pi \nu=2\pi\dfrac{1}{T}=kv

(1)(1)을 각진동수로 나타내서 쓰면

f(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+δ) f(x,t)=A \cos \big( kx-\omega t +\delta \big)

이는 파수가 kk이고 각진동수가 ω\omega인 오른쪽으로 진행하는 파동함수이다.3.JPG

4.JPG

위 그림처럼 δk\dfrac{\delta}{k}를 파동함수가 원점으로부터 뒤쳐진거리를 나타내는 것으로 정한다. 따라서 파동의 진행 방향이 바뀌면 위상상수의 부호도 바뀐다. 파동이 왼쪽으로 진행한다면 오른쪽으로 이동한 것이 뒤쳐진 것이기 때문이다. 즉, 파수가 kk이고 각진동수가 ω\omega인 왼쪽으로진행하는 파동함수는 다음과 같다.

f(x,t)=Acos⁡(kx+ωt−δ) f(x,t)=A \cos \big( kx+\omega t -\delta \big)

그런데 코사인 함수는 우함수이므로 위 식은 아래의 식과 같다. f(x,t)=Acos⁡(−kx−ωt+δ) f(x,t)=A \cos \big( -kx-\omega t +\delta \big)

이는 위에서 봤던 파수가 kk이고 각진동수가 ω\omega인 오른쪽으로 진행하는 파동함수 (2)(2)와 비교했을 때 파수 kk의 부호만 다르다. 다시 말해 파수 kk의 부호만 바꾸면 진폭, 위상상수, 진동수, 파장 등이 모두 같지만 진행 방향만 반대가 되는 파동이 됨을 알 수 있다.

복소 파동 함수

파동함수가 코사인으로 표현되므로 오일러 공식을 이용하여 복소 지수 함수의 꼴로도 나타낼 수 있다. 굳이 허수부를 확장해서 복소파동함수를 다루는 이유는, 복소함수가 코사인이나 사인보다 여러모로 계산에 편리하기 때문이다. eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x +i\sin x임을 사용하여 (2)(2)를 표현하면

f(x,t)=Re(Aei(kx−ωt+δ)) f(x,t)=\text{Re}(Ae^{i(kx-\omega t +\delta)})

이때 Re(a+ib)=a\text{Re}(a+ib)=a. 즉 실수 부분을 나타낸다. ff는 Aei(kx−ωt+δ)Ae^{i(kx-\omega t +\delta)}의 실수 부분만 나타낸 함수이므로 f~=Aei(kx−ωt+δ)\tilde{f}=Ae^{i(kx-\omega t +\delta)}라고 하자. 다시 말해 Re(f~)=f\text{Re}(\tilde{f})=f이다. 그러면 아래와 같이 간단하게 정리할 수 있다.

f~(x,t)=Aei(kx−ωt+δ)=Aeiδei(kx−ωt)=A~ei(kx−ωt) \tilde{f}(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t+\delta)}=Ae^{i\delta}e^{i(kx-\omega t)}=\tilde{A}e^{i(kx-\omega t)}

본 글에서 다루고 있는 파동함수 f(x,t)f(x,t)는 복소 파동 함수의 실수부분이다.

f(x,t)=Re(f~(x,t)) f(x,t)=\text{Re}\big( \tilde{f}(x,t) \big)