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파동의 경계조건 반사 투과 📂물리학

파동의 경계조건 반사 투과

서로 다른 줄 2개가 묶여있다고 하자. 파동이 줄1을 따라서 왼쪽에서 오른쪽으로 전파되는 상황이라고 하자. 파동의 전파 속도는 질량과 관계가 있으므로 줄이 묶인 곳을 지나면서 파동의 속도가 달라진다. 편의상 매듭의 위치를 x=0x=0라고 하고 파동이 왼쪽에서 들어온다고 하자. 그러면 입사파incident wave를 복소 파동 함수로 나타내면 아래와 같다.

f~I(x,t)=A~Iei(k1x−wt),x<0 \tilde {f} _{\text{I}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0

입사파는 줄1을 따라 다시 되돌아가는 반사파reflected wave와 줄2를 따라 계속 진행하는 투과파transmitted wave를 만든다.

f~R(x,t)=A~Rei(−k1x−wt),x<0 \tilde {f} _{\text{R}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0

f~T(x,t)=A~Tei(k2x−wt),x>0 \tilde {f} _{\text{T}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)},\quad x\gt 0

여기에서 주의해야할 점은 줄의 질량에 따라 파동의 속도는 변하지만 진동수 ω\omega는 변하지 않는다는 것이다. 파원이 같이 때문에 줄의 모든 부분에서 진동수는 ω\omega이고 변하지 않는다. 하지만 두 줄에서 파동의 속도가 다르기 때문에 파장과 파수는 달라진다.

λ1λ2=2πk12πk2=k2k1=v1v2 \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{\frac{2\pi}{k_{1}}}{\frac{2\pi}{k_{2}}}=\dfrac{k_{2}}{k_{1}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}

x<0x\lt 0인 영역에서는 입사파와 반사파가 모두 있으므로 줄의 알짜 변위를 다음과 같이 나타낸다.

f~(x,t)={A~Iei(k1x−wt)+A~Rei(−k1x−wt)x<0A~Tei(k2x−wt)x>0 \tilde{f}(x,t) = \begin{cases} \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)} + \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)} & x\lt 0 \\ \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)} & x\gt 0 \end{cases}

당연하게도 줄이 매듭(x=0)(x=0)에서 끊긴 것이 아니라면 아래의 식이 성립해야한다. ff는 x=0x=0에서 연속이어야 한다는 말이다.

lim⁡x→0−f(x,t)=lim⁡x→0+f(x,t) \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x,t)

매듭의 질량을 무시할 수 있다면 ff의 도함수도 x=0x=0에서 연속이어야한다.

∂f∂x∣0−=∂f∂x∣0+ \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^+}

그렇지 않으면 아래의 그림처럼 장력이 상쇄되지 않아서 매듭이 알짜힘을 받아 가속도가 계속해서 커지게 된다. 위의 경계조건은 실수 파동함수 f(x,t)f(x,t)에 적용된 것이지만 복소 파동함수 f~\tilde{f}에도 그대로 적용된다. f~\tilde{f}의 허수부분은 실수부분의 코사인이 사인으로 바뀐 것 밖에는 차이가 없기 때문이다.

lim⁡x→0−f~(x,t)=lim⁡x→0+f~(x,t) \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \tilde{f}(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \tilde{f}(x,t) \\

∂f~∂x∣0−=∂f~∂x∣0+ \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^+}

위 조건을 (2)(2)에 적용하면 아래의 두 식을 얻을 수 있다.

A~I+A~R=A~Tk1(A~I−A~R)=k2A~T \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T}

두 식을 연립하여 반사파와 투과파를 입사파로 나타내면 A~R=k1−k2k1+k2A~I,A~T=2k1k1+k2A~I \tilde{A}_{R}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} 본문이 길어져 계산과정을 생략했으니 궁금하다면 글 최하단을 참고하라∗^{\ast}. 또한 파수와 속도의 관계 (1)(1)를 위 식에 적용시키면 A~R=v2−v1v2+v1A~I,A~T=2v2v2+v1A~I \tilde{A}_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I} 마찬가지로 계산 과정이 궁금하다면 글 하단을 참고하라∗∗^{**}. 따라서 실수 진폭과 위상의 관계는 다음과 같다. AReiδR=v2−v1v2+v1AIeiδI,ATeiδT=2v2v2+v1AIeiδI A_{R}e^{i\delta_{R}}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}}, \quad A_{T}e^{i\delta_{T}}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}} 줄 2가 줄 1보다 가벼우면, μ2<μ1 →v1<v2(∵v=Tμ)\mu_{2} <\mu_{1} \ \rightarrow v_{1} < v_{2} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) 이고 세 파동의 위상각이 모두 같다. δI=δR=δT\delta_{I}=\delta_{R}=\delta_{T} 따라서 반사파와 투과파의 진폭은 AR=v2−v1v2+v1AI,AT=2v2v2+v1AI A_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} 줄 2가 줄 1보다 무거우면, μ1<μ2 →v2<v1(∵v=Tμ)\mu_{1} <\mu_{2} \ \rightarrow v_{2} < v_{1} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) 이고 반사파의 위상은 π\pi만큼 어긋난다. δR+π=δI=δT\delta_{R}+\pi=\delta_{I}=\delta_{T}. 그리고 cos⁡(−k1x−ωt+δI−π)=−cos⁡(−k1x−ωt+δI)\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I} - \pi) =-\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I})이므로 반사파와 투과파의 진폭은 AR=v1−v2v2+v1AI,AT=2v2v2+v1AI A_{R}=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} 특히나 줄 2가 줄 1에 비해 아주 무거우면(혹은 1의 끝이 고정되어 있으면) v2«v1v_{2} « v_{1}이므로 반사파와 투과파의 진폭은 AR=AI,AT=0 A_{R}=A_{I}, \quad A_{T}=0 즉 투과파는 없고 모두 반사된다.

* A~I+A~R=A~Tk1(A~I−A~R)=k2A~T \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T} 아래 식을 위 식에 대입하면 k2(A~I+A~R)=k1(A~I−A~R)  ⟹  (k1−k2)A~I=(k1+k2)A~R  ⟹  A~R=k1−k2k1+k2A~I \begin{array}{rc} & k_{2}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{R}) = k_{1}(\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R}) \\ \implies & (k_{1}-k_{2})\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{R} \\ \implies &\tilde{A}_{R} = \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} 위 식을 아래 식에 대입하면 k1(A~I+A~I−A~T)=k2A~T  ⟹  2k1A~I=(k1+k2)A~T  ⟹  A~T=2k1k1+k2A~I \begin{array}{rc} & k_{1}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{T}) = k_{2}\tilde{A}_{T} \\ \implies & 2k_{1}\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{T} \\ \implies &\tilde{A}_{T} = \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} ** k1−k2k1+k2=k1k2−1k1k2+1=v2v1−1v2v1+1=v2−v1v2+v1 \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}-1}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}-1}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}

2k1k1+k2=2k1k2k1k2+1=2v2v1v2v1+1=2v2v2+v1 \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{2\dfrac{k_{1}}{k_{2}}}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{2\dfrac{v_{2}}{v_{1}}}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}