📂집합론

동치관계에 의한 집합의 분할

정리 ¹

집합 $X$ 상의 동치관계 $R$ 에 대해 $X / R$ 은 $X$ 의 분할이다.

설명

이 정리는 별 것 아닌 것 같아 보이지만 위상수학, 추상대수학 등 수학 전반에서 널리 쓰이고 있다.동치관계란 쉽게 말해서 이거나 저거나 ‘같다’고 보자는건데, 아이러니하게도 동치관계가 주어짐으로써 ‘같지 않음’이라는 개념이 동반된다. 전체집합은 동치관계라는 법 아래에서 여러 조각으로 잘리게 되며, 동치관계의 엄격한 기준에 따라 애매한 경계 없이 나누어진다.

증명

전략: 동치류의 성질에 대우를 취해 동치류들이 서로 겹치는 부분이 없음을 보인다. 동치류는 전체집합의 부분집합이나, 동치류들의 합집합은 전체집합보다 훨씬 큼을 보여줌으써 결국 두 집합이 같은 걸 보인다.

분할의 정의: 집합 $X$ 의 모든 부분집합 $A,B,C$ 에 대해 다음의 조건을 만족하는 $\mathscr{P}$ 를 $X$ 의 분할이라 한다.

• (i): $$A,B \subset \mathscr{P} \land A \ne B \implies A \cap B = \emptyset$$
• (ii): $$\bigcup_{C \in \mathscr{P} } C = X$$

동치류의 정의: 집합 $X$ 상에서 동치관계 $R$ 이 정의되어있다고 하자. $x \in X$ 에 대해 $x / R := \left\{ y \in X : y R x \right\}$ 를 $x$ 의 동치류라고 한다. 주어진 $X$ 의 모든 동치류를 모은 집합을 $X / R := \left\{ x / R : x \in X \right\}$ 과 같이 나타낸다.

$X / R$ 의 정의에 따라 $X / R \subset \mathscr{P} (X)$ 이다.

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Part 1. $A,B \subset \mathscr{P} \land A \ne B \implies A \cap B = \emptyset$

동치류의 성질 [4]: $$x / R \cap y / R \ne \emptyset \iff x/R = y/R$$

동치류의 성질에 따라 $$x / R \cap y / R \ne \emptyset \implies x/R = y/R$$ 대우법에 따라 $$x/R \ne y/R \implies x / R \cap y / R = \emptyset$$

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Part 2. $\displaystyle \bigcup_{C \in \mathscr{P} } C = X$

모든 $x$ 에 대해 $x / R \subset X$ 이므로 $$\bigcup_{x \in X} x / R \subset X$$ 모든 $x$ 에 대해 $x \in x / R$ 이므로 $$X \subset \bigcup_{x \in X} x / R$$ 집합의 포함관계가 양쪽으로 성립하므로 $$X = \bigcup_{x \in X} x / R$$

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