📂동역학

다차원 선형 맵

정의 ¹

1. 맵 $T_{A} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ 가 모든 $a,b \in \mathbb{R}$ 과 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{m}$ 에 대해 $$T_{A} ( a \mathbf{x} + b \mathbf{y} ) = a T_{A} ( \mathbf{x} ) + b T_{A} ( \mathbf{y} )$$ 를 만족하면 $T_{A}$ 가 선형^linear이라고 한다.

$A$ 의 아이겐 밸류들을 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m}$ 이라고 하자.

2. $| \lambda_{1} | \ne 1, \cdots , | \lambda_{m} | \ne 1$ 이면 $A$ 가 하이퍼볼릭^hyperbolic하다고 한다.
3. 하이퍼볼릭 $A$ 에 대해 $\begin{cases} | \lambda_{i} | >1 \\ | \lambda_{j} | <1 \end{cases}$ 를 만족하는 $i,j$ 가 적어도 하나씩 존재하면 $\mathbb{0}$ 가 새들^saddle이라 한다.

설명

실제로 맵 $T_{A}$ 에 대응하는 $m \times m$ 사이즈 행렬 $A$ 는 $\displaystyle A ( a \mathbf{x} + b \mathbf{y} ) = a A \mathbf{x} + b A \mathbf{y}$ 을 만족한다. 본질적으로 $T_{A}$ 와 $A$ 는 같은 것이므로 따로 구분할 이유는 없고 $A$ 자체를 맵이라고 불러도 무방하다.

한편 이러한 선형 맵에서 원점 $\mathbb{0}$ 은 $A \mathbb{0} = \mathbb{0}$ 을 만족하므로 $T_{A}$ 의 고정점이 된다. 고정점이 등장했으니 당연히 이에 대한 논의도 따른다.

새들이 아닐 때의 판정법

$\mathbb{0}$ 이 새들이 아닐 땐 다음의 정리에 따라 싱크거나 소스임을 판정할 수 있다.

• [1]: $| \lambda_{1} | < 1, \cdots , | \lambda_{m} | < 1$ 이면 $\mathbb{0}$ 은 싱크다.
• [2]: $| \lambda_{1} | > 1, \cdots , | \lambda_{m} | > 1$ 이면 $\mathbb{0}$ 은 소스다.

예시

하이퍼볼릭한 리니어 맵의 예로써 $\mathbb{R}^2$ 에서 $A:= \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 를 생각해보면 아이겐 밸류는 $\lambda_{1} = 1/2, \lambda_{2} = 2$ 가 된다. 평면상의 이니셜 포인트 $\mathbf{v}_{0} = (x,y)$ 가 주어지면 $\mathbf{v}_{n+1} := A \mathbf{v}_{n}$ 는 맵을 취할 때마다 $x$ 값은 작아지고 $y$ 값은 커질 것이다. 특히 원점은 새들이 된다.

$\displaystyle y = {{ 1 } \over { x }}$ 는 대표적인 쌍곡선^hyperbola으로써, 그 모양을 보면 이러한 맵을 하이퍼볼릭이라고 부르는지 알 수 있다. 물론 모양 같은 것에 얽매일 필요는 없고, 하이퍼볼릭이라는 표현은 이보다는 훨씬 큰 개념이다.

원점이 싱크가 되는 리니어 맵의 예로써 $\mathbb{R}^2$ 에서 $B:= \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$ 를 생각해보면 아이겐 밸류는 $\lambda_{1} = 1/2, \lambda_{2} = 1/2$ 고 평면상의 모든 점은 맵을 취할때마다 원점에 가까워진다. 반대로 $C:= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 와 같은 리니어맵이라면 $\mathbb{0}$ 을 제외한 모든 점은 맵을 취할때마다 원점에서 멀어져서 소스가 된다.