📂전자기학

부피 속의 전하가 받는 전자기력

개요¹

부피 $\mathcal{V}$속의 모든 전하가 받는 전자기력은 다음과 같다.

$$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$

$\mathcal{S}$는 부피 $\mathcal{V}$의 경계면, $\mathbf{T}$는 맥스웰 변형력 텐서 , $\mathbf{S}$는 포인팅 벡터 이다.

유도

• Part 1.

로런츠 힘 법칙에 의해 전하가 받는 힘은

$$ \mathbf{F}=q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$

전하량을 전하밀도로 나타내면 $q=\int \rho d\tau$이므로

$$ \mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}} \rho (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})d\tau $$

부피전류밀도 는 $\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}$이므로

$$ \mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}} (\rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B})d\tau $$

양변을 미분해 단위부피 속의 전하가 받는 힘을 나타내면

$$ \dfrac{d\mathbf{F}}{d \tau}=\mathbf{f}=\rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} $$

맥스웰 방정식

$\mathrm{(i)}\ \rho=\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}$, $\mathrm{(iv)}\ \mathbf{J}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\nabla \times \mathbf{B}-\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

맥스웰 방정식을 이용해 $\mathbf{f}$를 전자기장으로만 나타내면

$$ \begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_{0}(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + \dfrac{1}{\mu_{0}}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} \end{equation} $$

• Part 2.

$(1)$의 우변의 마지막항을 고치기 위해 아래의 식을 살펴보자.

$$ \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

패러데이 법칙

$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\nabla \times \mathbf{E}$

패러데이 법칙을써서 위의 식을 정리하면

$$ \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} = \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) $$

이를 $(1)$에 대입하여 정리하면

$$ \begin{align} \mathbf{f} &= \epsilon_{0}(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + \dfrac{1}{\mu_{0}}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \left[ \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) \right] \nonumber \\ &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \bigg] - \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) \bigg] -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) \end{align} $$

• Part 3.

수식을 대칭적으로 만들기 위해, 다시 말해 예쁘게 만들기 위해 $(2)$의 두번째 각괄호 안에 $(\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}$를 더하자. $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$이므로 아무런 문제가 없다. 그러면

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{f} &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \bigg] + \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[(\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) \bigg] \\ &\quad -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{aligned} \end{equation} $$

곱셈규칙

$$ \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} $$

또한 곱셈규칙을 사용하면

$$ \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} ) =\nabla(A^2) = 2(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A} + 2\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A} ) $$

이므로

$$ \begin{cases} \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) = -(\mathbf{E}\cdot\nabla) \mathbf{E} + \dfrac{1}{2}\nabla(E^2) \\ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) = -(\mathbf{B}\cdot\nabla) \mathbf{B} +\dfrac{1}{2}\nabla(B^2) \end{cases} $$ 이고 $(3)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \mathbf{f} &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} +(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} - \dfrac{1}{2}\nabla(E^2) \bigg] + \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[ \nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} +(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} -\dfrac{1}{2}\nabla(B^2) \bigg] -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) \end{align*} $$

식이 너무 복잡하므로 맥스웰 변형력 텐서 $\mathbf{T}$를 써서 나타내면 처음 세 항은 $\nabla \cdot \mathbf{T}$로 나타나고, 마지막항은 포인팅 벡터 $\mathbf{S}$로 표현할 수 있다. 그러면 식의 모양은

$$ \mathbf{f} = \nabla \cdot \mathbf{T} - \epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} $$

양변을 부피에 대해서 적분하고 우변의 첫째항에 발산정리 를 쓰면

$$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$

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