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부피 속의 전하가 받는 전자기력 📂전자기학

부피 속의 전하가 받는 전자기력

개요1

부피 V\mathcal{V}속의 모든 전하가 받는 전자기력은 다음과 같다.

F=∮ST⋅da−ϵ0μ0ddt∫VSdτ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau

S\mathcal{S}는 부피 V\mathcal{V}의 경계면, T\mathbf{T}는 맥스웰 변형력 텐서 , S\mathbf{S}는 포인팅 벡터 이다.

유도

  • Part 1.

로런츠 힘 법칙에 의해 전하가 받는 힘은

F=q(E+v×B) \mathbf{F}=q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

전하량을 전하밀도로 나타내면 q=∫ρdτq=\int \rho d\tau이므로

F=∫Vρ(E+v×B)dτ \mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}} \rho (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})d\tau

부피전류밀도 는 ρv=J\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}이므로

F=∫V(ρE+J×B)dτ \mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}} (\rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B})d\tau

양변을 미분해 단위부피 속의 전하가 받는 힘을 나타내면

dFdτ=f=ρE+J×B \dfrac{d\mathbf{F}}{d \tau}=\mathbf{f}=\rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}

맥스웰 방정식

(i) ρ=ϵ0∇⋅E\mathrm{(i)}\ \rho=\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}, (iv) J=1μ0∇×B−ϵ0∂E∂t\mathrm{(iv)}\ \mathbf{J}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\nabla \times \mathbf{B}-\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

맥스웰 방정식을 이용해 f\mathbf{f}를 전자기장으로만 나타내면

f=ϵ0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B−ϵ0∂E∂t×B \begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_{0}(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + \dfrac{1}{\mu_{0}}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} \end{equation}

  • Part 2.

(1)(1)의 우변의 마지막항을 고치기 위해 아래의 식을 살펴보자.

∂∂t(E×B)=∂E∂t×B+E×∂B∂t \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

패러데이 법칙

∂B∂t=−∇×E\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\nabla \times \mathbf{E}

패러데이 법칙을써서 위의 식을 정리하면

∂E∂t×B=∂∂t(E×B)+E×(∇×E) \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} = \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} )

이를 (1)(1)에 대입하여 정리하면

f=ϵ0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B−ϵ0[∂∂t(E×B)+E×(∇×E)]=ϵ0[(∇⋅E)E−E×(∇×E)]−1μ0[B×(∇×B)]−ϵ0∂∂t(E×B) \begin{align} \mathbf{f} &= \epsilon_{0}(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + \dfrac{1}{\mu_{0}}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \left[ \dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) \right] \nonumber \\ &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \bigg] - \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) \bigg] -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) \end{align}

  • Part 3.

수식을 대칭적으로 만들기 위해, 다시 말해 예쁘게 만들기 위해 (2)(2)의 두번째 각괄호 안에 (∇⋅B)B(\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}를 더하자. ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B}=0이므로 아무런 문제가 없다. 그러면

f=ϵ0[(∇⋅E)E−E×(∇×E)]+1μ0[(∇⋅B)B−B×(∇×B)]−ϵ0∂∂t(E×B) \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{f} &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \bigg] + \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[(\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) \bigg] \\ &\quad -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{aligned} \end{equation}

곱셈규칙

∇(A⋅B)=A×(∇×B)+B×(∇×A)+(A⋅∇)B+(B⋅∇)A \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A}

또한 곱셈규칙을 사용하면

∇(A⋅A)=∇(A2)=2(A⋅∇)A+2A×(∇×A) \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} ) =\nabla(A^2) = 2(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A} + 2\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A} )

이므로

{E×(∇×E)=−(E⋅∇)E+12∇(E2)B×(∇×B)=−(B⋅∇)B+12∇(B2) \begin{cases} \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E} ) = -(\mathbf{E}\cdot\nabla) \mathbf{E} + \dfrac{1}{2}\nabla(E^2) \\ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B} ) = -(\mathbf{B}\cdot\nabla) \mathbf{B} +\dfrac{1}{2}\nabla(B^2) \end{cases} 이고 (3)(3)에 대입하면

f=ϵ0[(∇⋅E)E+(E⋅∇)E−12∇(E2)]+1μ0[∇⋅B)B+(B⋅∇)B−12∇(B2)]−ϵ0∂∂t(E×B) \begin{align*} \mathbf{f} &= \epsilon_{0} \bigg[ (\nabla \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} +(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} - \dfrac{1}{2}\nabla(E^2) \bigg] + \dfrac{1}{\mu_{0}} \bigg[ \nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} +(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} -\dfrac{1}{2}\nabla(B^2) \bigg] -\epsilon_{0}\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) \end{align*}

식이 너무 복잡하므로 맥스웰 변형력 텐서 T\mathbf{T}를 써서 나타내면 처음 세 항은 ∇⋅T\nabla \cdot \mathbf{T}로 나타나고, 마지막항은 포인팅 벡터 S\mathbf{S}로 표현할 수 있다. 그러면 식의 모양은

f=∇⋅T−ϵ0μ0∂S∂t \mathbf{f} = \nabla \cdot \mathbf{T} - \epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}

양변을 부피에 대해서 적분하고 우변의 첫째항에 발산정리 를 쓰면

F=∮ST⋅da−ϵ0μ0ddt∫VSdτ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau

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  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p388-390 ↩︎