📂전자기학

맥스웰 변형력 텐서

정의¹

아래의 텐서 $\mathbf{T}$를 맥스웰 변형력 텐서^{Maxwell tress tensor}라 한다.

$$ \mathbf{T}=\overleftrightarrow{\mathbf{T}}=\begin{pmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{pmatrix} $$

$$ T_{ij}=\epsilon_{0} \left( E_{i}E_{j}-\dfrac{1}{2}\delta_{ij}E^2 \right) + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left(B_{i}B_{j}-\dfrac{1}{2}\delta_{ij}B^2 \right) $$

이때 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다.

설명

$2$차 텐서의 한 종류로 위와 같이 정의된다. 어느 부피 $\mathcal{V}$속의 전하가 받는 힘을 유도하는 과정에서 등장한다. $2$차 텐서이므로 9개의 성분을 가진다. 성분의 아래첨자가 1개인 벡터의 경우 $\vec{A}$와 같이 나타내기도 하는데, 이와 비슷하게 성분의 아래첨자가 2개인 $2$차 텐서를 $\overleftrightarrow{\mathbf{A}}$와 같이 나타내기도 한다. 필자는 이 표현을 깔끔하지 않다고 생각하기 때문에 본 글에서는 벡터를 표현하는 방법과 마찬가지로 단순하게 볼드체로 표시하겠다.

식에 크로네커 델타가 포함돼있어서 $i=j$인 경우와 $i \ne j$인 경우의 모양이 꽤 다르게 나타난다.

$i=j$인 경우에

$$ T_{xx}=\epsilon_{0} \left( {E_{x}}^2-\dfrac{1}{2}E^2\right) +\dfrac{1}{\mu_{0}}\left( {B_{x}}^2-\dfrac{1}{2}B^2 \right) $$

$E^2={E_{x}}^2+{E_{y}}^2+{E_{z}}^2$이므로

$$ T_{xx}=\dfrac{\epsilon_{0}}{2} \left( {E_{x}}^2-{E_{y}}^2-{E_{z}}^2\right) +\dfrac{1}{2\mu_{0}}\left( {B_{x}}^2-{B_{y}}^2 -{B_{z}}^2\right) $$

$i \ne j$인 경우에는

$$ T_{xy}=\epsilon_{0}(E_{x}E_{y})+\dfrac{1}{\mu_{0}}(B_{x}B_{y}) $$

내적

맥스웰 변형력 텐서 $\mathbf{T}$와 임의의 벡터 $\mathbf{a}$와의 내적은 그 성분이 아래첨자를 1개만 가지므로 벡터($1$차 텐서)이고 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{T} &=\begin{pmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{pmatrix} \\ &= (a_{x}T_{xx}+a_{y}T_{yx}+a_{z}T_{zx},\ a_{x}T_{xy} + a_{y}T_{yy} + a_{z}T_{zy},\ a_{x}T_{xz} + a_{y}T_{yz} + a_{z}T_{zz}) \end{align*} $$

$$ \left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{T} \right)_{j}=\sum \limits_{i=x,y,z}a_{i}T_{ij} $$

발산

$\mathbf{T}$의 발산 역시 벡터이다. $\nabla \cdot \mathbf{T}$의 $j$성분은

$$ \begin{align*} & \left( \nabla \cdot \mathbf{T} \right)_{j} \\ =&\ \epsilon_{0} \left[ \nabla_{i}(E_{i}E_{j}) -\dfrac{1}{2}\nabla_{i}\delta_{ij}E^2 \right] + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left[ \nabla_{i}(B_{i}B_{j})-\dfrac{1}{2}\nabla_{i}\delta_{ij}B^2 \right] \\ =&\ \epsilon_{0} \left[ \nabla_{i}E_{i}E_{j} +E_{i}\nabla_{i}E_{j} -\dfrac{1}{2}\nabla_{j}E^2 \right] + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left[ \nabla_{i}B_{i}B_{j}+B_{i}\nabla_{i}B_{j}-\dfrac{1}{2}\nabla_{j}B^2 \right] \\ =&\ \epsilon_{0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E})E_{j} +(\mathbf{E} \cdot \nabla) E_{j} -\dfrac{1}{2}\nabla_{j}E^2 \right] + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) B_{j}+(\mathbf{B} \cdot \nabla) B_{j}-\dfrac{1}{2}\nabla_{j}B^2 \right] \end{align*} $$