📂전자기학

전자기학에서의 연속방정식

공식

다음의 식을 연속방정식^{continuity equation}이라 한다.

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot \mathbf{J}$$

설명¹

연속방정식은 국소적인 영역에서의 전하량보존법칙을 수식적으로 표현한 것이다. 전하량보존법칙은 원래 있던 전하가 갑자기 사라지거나 새로운 전하가 생기는 일이 없이 처음의 전하량이 그대로 유지된다는 법칙이다. 이는 우주 전체에 대해서도 그러하겠지만 우리의 눈 앞에 보이는 작은 영역에서도 마찬가지이다. 어떤 공간 안의 총 전하량에 변화가 생겼다면 반드시 그 공간의 경계를 통해 그 만큼의 전하가 들어오거나 나가야한다. 내가 문(공간의 경계) 을 지나지 않고 내 방(공간) 을 나갈 수 없는 것과 같다. 내가 방에서 사라졌다면 문으로 나갔음이 분명하고, 내가 문을 통해 밖으로 나갔으면 방에서 내가 사라졌음이 분명하다.

유도

어떤 부피 $\mathcal{V}$ 속에 든 전하는 아래와 같다.

$$Q(t)=\int_\mathcal{V} \rho (\mathbf{r},t) d \tau$$

그리고 $\mathcal{V}$의 경계 $\mathcal{S}$를 통해 흘러 나오는 전류는 $\displaystyle \oint_\mathcal{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$이므로

$$\dfrac{dQ}{dt}=-\oint_\mathcal{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$$

부호가 반대로 붙는 이유는 당연하다. 내가 방에서 나갔다면 방안의 사람 수 변화량(좌변)은 $-1$이지만 문을 통해 나간 사람의 수(우변)는 $1$이기 때문이다. 위의 두 식으로부터 아래의 식이 성립한다.

$$\int_\mathcal{V} \dfrac{ \partial \rho}{\partial t} d \tau= -\oint_\mathcal{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$$

우변에 발산정리를 적용하면

$$\int_\mathcal{V} \dfrac{ \partial \rho}{\partial t} d \tau= -\int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{J} d\tau$$

위의 식은 어떤 공간 $\mathcal{V}$에 대해서도 성립하므로 아래의 식이 성립한다.

$$\dfrac{ \partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{J}$$