📂전자기학

상호 인턱덕스

설명¹

위 그림처럼 고정된 두 도선 고리가 있다고 하자. 고리 1에 정상전류 $I_{1}$을 흐르게 하면 자기장 $\mathbf{B}_{1}$이 생긴다.(앙페르 법칙 ) $\mathbf{B}_{1}$의 자기장선 중 일부는 고리 2를 지나가게 된다. 그럼 고리 2를 지나가는 $\mathbf{B}_{1}$의 선속 $\Phi_{2}=\mathbf{B}_{1} \cdot d\mathbf{a}_{2}$를 말할 수 있다. 이 때 $d\mathbf{a}_{2}$는 고리 2의 면적벡터로 크기는 고리 2가 감싸는 면적과 같고, 방향은 고리 2가 감싸는 면과 수직한 방향과 같다.

고리 1의 모양이 원형이나 사각형 등의 간단한 모양이 아니라면 실제로 $\mathbf{B}_{1}$을 계산하는 것은 힘들고 따라서 선속 $\Phi_{2}$를 계산하는 것 또한 힘들다. 하지만 비오-사바르 법칙을 살펴봄으로써 중요한 힌트를 얻을 수 있다.

$$ \mathbf{B}_{1} =\dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I_{1} \oint \dfrac{d \mathbf{l} \times \crH}{\cR ^2} $$

바로 자기장 $\mathbf{B}_{1}$이 고리 1에 흐르는 전류 $I_{1}$에 비례한다는 사실이다. $\Phi_{2}=\mathbf{B}_{1} \cdot d\mathbf{a}_{2}$이므로 $\Phi_{2}$ 또한 $I_{1}$에 비례한다. 따라서 그 비례상수를 $M_{21}$이라 두면 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ \Phi_{2}=M_{21}I_{1} $$

이 비례상수를 상호 인덕턴스^{mutual inductance}라 한다. 상호 인덕턴스는 선속을 벡터 전위로 표현하고 이에 스토크스 정리를 쓰면 얻을 수 있다.

$$ \Phi_{2} = \int \mathbf{B}_{1} \cdot d \mathbf{a}_{2} = \int(\nabla \times \mathbf{A}_{1}) \cdot d \mathbf{a}_{2} = \oint \mathbf{A}_{1} \cdot d \mathbf{l}_{2} $$

$\displaystyle \mathbf{A}_{1}=\dfrac{\mu_{0} I_{1}}{4 \pi} \oint \dfrac{d \mathbf{l}_{1}}{\cR}$이므로

$$ \Phi_{2} =\dfrac{\mu_{0} I_{1}}{4 \pi} \oint \left( \oint \dfrac{ d\mathbf{l}_{1}}{\cR} \right)\cdot d \mathbf{l}_{2} $$

따라서 상호 인던턱스는

$$ M_{21}=\dfrac{\mu_{0} }{4 \pi} \oint \left( \oint \dfrac{ d\mathbf{l}_{1} \cdot d \mathbf{l}_{2} }{\cR} \right) $$

위 식을 노이만 공식^{Neumann formula}이라 한다. 노이만 공식을 잘 살펴보면 전류 $I_{1}$에 대한 항이 없고, 두 고리의 선적분이 내적으로 연결돼있다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음의 두 중요한 사실을 얻을 수 있다.

1. 상호 인던턱스 $M_{21}$은 순전히 기하학적인 양으로 고리에 흐르는 전류와는 무관하다. 두 고리 사이의 거리나 크기, 모양 등으로 결정되는 양이다.
2. $d \mathbf{l}_{1} \cdot d\mathbf{l}_{2}=d\mathbf{l}_{2} \cdot d\mathbf{l}_{1}$이므로 $M_{21}=M_{12}=M$이다.

위의 사실들을 종합하여 설명하면,

두 고리의 모양, 위치에 관계없이 전류 $I$가 고리 1에 흐를 때 생기는 자기장 $\mathbf{B}_{1}$이 고리 2를 통과하는 선속은, 같은 전류 $I$가 고리 2에 흐를 때 생기는 자기장 $\mathbf{B}_{2}$가 고리 1을 통과하는 선속과 같다.