📂수치해석

라그랑주 공식 유도

공식 ¹

서로 다른 $x_{0} , \cdots , x_{n}$ 의 데이터 $(x_{0}, y_{0}) , \cdots , (x_{n} , y_{n})$ 에 대해 $\displaystyle l_{i} (x) := \prod_{i \ne j} \left( {{ x - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right)$ 이라고 하면 $$ p_{n} (x) = \sum_{i=0}^{n} y_{i} l_{i} (X) $$

설명

라그랑주 공식은 폴리노미얼 인터폴레이션을 찾는 방법 중 가장 심플한 공식이다.

유도

전략: $l_{i}$ 이 인덱스에 대해 크로데커 델타 함수임을 보인다.

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$$ l_{i} (x_{i}) = \prod_{i \ne j} \left( {{ x_{i} - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) = 1 $$

$$ l_{i} (x_{j}) = \prod_{i \ne j} \left( {{ x_{j} - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) = 0 $$ 정리하면 $l_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$ 이다. $$ p_{n}(x) = y_{0} l_{0}(x) + y_{1} l_{1}(x) + \cdots y_{n} l_{n}(X) $$ 이라고 두면 모든 $i=0,1, \cdots , n$ 에 대해 $$ p_{n}(x_{i}) =0 + \cdots + y_{i} \cdot 1 + \cdots + 0 = y_{i} $$ 이 성립한다.

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