패러데이 법칙과 렌츠의 법칙

패러데이 법칙

변화하는 자기장은 전기장을 유도한다.

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

설명¹

패러데이가 1831년에 다음과 같은 내용의 실험 결과를 발표하였다. 발표한 실험결과의 내용은 다음과 같다.

1. 자기장 속에 놓여진 도선 고리를 오른쪽 으로 당겼다. 고리에 전류가 흘렀다.
2. 자기장 속에 도선 고리를 고정하고 자석을 왼쪽 으로 밀었다. 고리에 전류가 흘렀다.
3. 도선 고리와 자석을 고정하고 전자석으로 쓰인 코일에 흐르는 전류를 변화시켜 자기장의 세기를 변화 시켰다. 고리에 전류가 흘렀다.

1. 은 운동 기전력에 대한 내용이다. 도선 고리와 자석의 움직임을 생각해보면 2. 의 내용도 사실 1. 과 다름이 없다. 따라서 1. , 2. 의 상황에서는 아래와 같은 기전력이 생겨 전류가 흐르게 된다.

$$ \begin{equation} \mathcal{E} = -\dfrac{d \Phi}{d t} \label{1} \end{equation} $$

이와 같이 고리(혹은 자석)가 움직일 때는 자기력이 기전력을 만들지만 3. 과 같이 도선과 자석이 멈춰있다면 얘기가 다르다. 하지만 세 실험은 모두 같은 결과가 나타났고 공통으로 적용되는 설명이 필요했다. 그래서 패러데이가 생각한 것이 “변화하는 자기장은 전기장을 유도한다” 는 것이다. 즉, 자기장 선속의 변화가 도선에 전류를 흐르게 한다는 것이다. 위의 세 실험 모두 도선 고리를 지나는 자기장의 선속이 변한다.

1. 2. 3. 에서 자기장의 변화가 일어나는 원인은 다르다. 그렇지만 같은 결과를 얻을 수 있다. 따라서 고리를 지나는 자기장의 선속이 변히면 그 원인에 상관없이 항상 고리에 $(1)$과 같은 기전력이 생긴다. 이때 고리에 흐르는 전류의 방향은 다음과 같은 규칙으로 정해진다.

이를 렌츠의 법칙^{Lenz’s law}이라 한다. 쉽게 말해서 고리 내부의 선속이 늘어나면 선속이 줄어드는 방향으로 고리에 전류가 흐르고, 고리 내부의 선속이 줄어들면 선속이 늘어나는 방향으로 고리에 전류가 흐른다. 선속이 늘어나면(줄어들면) 고리에 전류를 흐르게 하는데 이렇게 흐르는 전류는 다시 고리의 선속을 줄인다(늘인다). 이것은 마치 전류가 선속의 변화를 줄이기 위해서 흐르는 것 처럼 보인다. 전자기학에서의 관성이라고 이해할 수 있다.

유도

기전력은 $\mathcal{E} = \displaystyle \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$이고 위 실험의 결과에 따라 이것이 자기장 선속의 변화율과 같다면 다음의 식이 성립한다.

$$ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\dfrac{d \Phi}{dt} $$

선속의 정의에 따라 $\displaystyle \Phi=\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}$를 대입하면

$$ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\int \dfrac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \cdot d \mathbf{a} $$

위의 식을 적분꼴의 패러데이 법칙^{Faraday’s law in integral form}이라 한다.

스토크스 정리

$$ \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} $$

적분꼴 패러데이 법칙의 좌변에 스토크스 정리를 쓰면 아래의 식을 얻는다.

$$ \int (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{a} = \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\int \dfrac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \cdot d \mathbf{a} $$

따라서 아래와 같은 미분꼴의 패러데이 법칙 을 얻을 수 있다.

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

자기장 $\mathbf{B}$가 일정하다면 $\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \mathbf{0}$이다. 이는 전기장의 컬이 $\mathbf{0}$이라는 정전기학에서의 결과와 일치한다.

$$ \nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0} $$

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