📂동역학

네츄럴 인베리언트 메져

정의 ¹

카오틱한 동역학계에서 충분히 시간이 지난 뒤의 스테이트를 확률적으로 나타낸 분포함수를 네츄럴 (인베리언트) 메져라 한다.

예시 ²

예로써 로지스틱 맵 $g_{4} (x) = 4 x (1 -x)$ 를 생각해보면 카오틱한 시스템이기 때문에 초기값 $x_{0} \in [0,1]$ 만 가지고는 충분히 큰 $N$ 에 대해 $x_{N} = g_{4}^{N} (x_{0})$ 을 전혀 예측할 수 없다. 하지만 이렇게 카오틱한 오빗이 반드시 $[0,1]$ 의 모든 지점에서 고른 분포를 가진다는 보장은 없다.

실제로 로지스틱 맵에서 초기값을 랜덤으로 준 후 $10^5$번째까지의 스테이트를 히스토그램으로 나타내면 위와 같은 모양이 된다. 이러한 분포를 가진 확률밀도함수를 $\rho$ 라고 한다면 충분히 큰 $N$ 에 대해 $$p \left( x_{N} \in [a,b] \right) = \int_{a}^{b} \rho (x) dx$$ 와 같이 표현할 수 있다. 위 그림은 어떤 $x$ 가 시스템 속에서 카오틱한 움직임을 보이는 건 맞지만, 특히 $0$ 과 $1$ 근처에서 자주 머무른다는 것을 의미한다.‘머무른다’는 것을 평균적으로 나타낸다는 발상은 누구나 떠올릴 수 있고 동의할 수 있다는 점에서 네츄럴^natural이라는 표현이 자연스럽게 맞아떨어진다. 또한 확률분포로 표현되기 때문에 메져^measure라 부를 수 있으며, 초기값에 상관없이 시스템 자체의 성질을 나타내므로 초기값에 대해 불변적^invariant이라는 말도 적절하다.

한편 네츄럴 메져의 존재는 아주 중요한 사실을 함의한다. 이 세상의 수많은 현상들이 카오틱한 시스템으로 표현되고 불확실성을 포함하고 있지만, 카오스에 대한 이해가 깊어질수록 ‘평균적’이거나 ‘정량적’인 예측을 내놓을 수 있다는 사실이다.