📂편미분방정식

열 방정식, 확산 방정식

정의^{1 2}

아래의 편미분방정식을 열 방정식^{heat equation} 혹은 확산 방정식^{diffusion equation}이라 한다.

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$$

• 공간좌표가 $n$차원일 때는, $$\dfrac{\partial u}{\partial t} = \Delta u = \nabla^{2}u$$ 여기서 $\Delta = \nabla^{2} = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i}^{2}}$는 라플라시안이다.

• 외부 힘^{forcing term} $f = f(x,t)$가 있을 때는, $$\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + f$$

• 확산 계수^{diffusion coefficient} $a = a(x) > 0$가 있을 때는, $$\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left[ a(x) \dfrac{\partial u}{\partial x} \right]$$

초기조건과 경계조건

열 방정식에는 흔히 초기조건과 경계조건이 주어진다. 초기조건만으로는 솔루션이 유일하게 결정되지 않는다. $u$가 $\Omega \times [0, T]$에서 정의된 함수라고 하면,

$$\text{initial condition : } u(x, 0) = g(x) \quad \text{ on } \Omega \times \left\{ 0 \right\}$$

$$\text{boundary condition : } u(x, t) = h(x, t) \quad \text{ on } \partial \Omega \times [0, T]$$

$\partial \Omega$는 $\Omega$의 경계이다.

설명

라플라스 방정식에서 시간에 대한 미분항이 추가된 꼴이다. 라플라스 방정식은 시간의 흐름에 무관하므로 평형 상태에 대한 방정식이고, 열 방정식은 시간의 흐름에 영향을 받으므로 어떤 물리량이 흐르는(확산되는) 상태에 대한 방정식이다. 열 방정식이라는 이름이 붙은 것도 열역학에서 처음 등장했기 때문이다.

유도

$U \subset \mathbb{R}^n$가 열린 집합이고 물리적인 공간을 의미한다고 하자. $u:U\times (0,\ \infty) \to \mathbb{R}$를 어떤 물리량의 밀도 함수라고 하자. 그러면 $u(x,\ t)$는 어떤 지점 $x\in U$에서 시간이 $t>0$일 때의 밀도를 의미한다. 고정된 어떤 열린 집합 $V$가 $V \Subset U$이고 $V\in C^{\infty}$를 만족한다고 하자. 그리고 $\mathbf{F} : U \times (0, \infty) \to \mathbb{R}^n$를 $u$의 선속^flux이라고 하자. 그러면 $u$와 $\mathbf{F}$사이에 다음의 식이 성립해야한다.

$$\dfrac{d}{dt}\int_{V}u(x,t)dx = -\int_{\partial V}\mathbf{F}(x, t) \cdot \nu (x) dS(x)$$

좌변은 어떤 공간의 내부에서 물리량 $u$의 변화량을 말하는 것이고, 우변은 그 공간의 경계에서 빠져나가거나 들어온 양을 말하는 것이다. 스스로 생기거나 없지지지 않는 한 그 양은 일정하다. 내부의 물리량에 변화가 생겼다면 반드시 들어오거나 나오는 것이 있어야하고, 그 둘의 값은 서로 같다는 것이다.

쉬운 예로 방 안에 사람들이 있고, 자유롭게 출입할 수 있다고 하자. 방 안에서 사람 수의 변화를 세는 관찰자 $A$가 있다. 문 앞에 서서 나가는 사람을 볼 때 마다 $+1$을, 들어가는 사람을 볼 때 마다 $-1$을 세는 관찰자 $B$가 있다. 만약 3명이 방에서 나갔다면 방 안의 $A$가 측정한 변화량은 -3이고, 문 앞의 $B$가 센 수는 3이다. 우변에 마이너스 부호가 붙은 까닭이 바로 이것이다.

$u \in C^{2}$이므로 좌변의 미분을 적분 안으로 넣고, 우변에 그린-가우스 정리를 적용하면 다음과 같다.

$$\int_{V} u_{t}(x,t)dx=-\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F}(x,t)dx\quad \forall t>0$$

따라서 다음을 얻는다.

$$u_{t}=-\nabla \cdot \mathbf{F}\quad \mathrm{in}\ U\times(0,\infty)$$

라플라스 방정식을 유도했을 때와 같이, $F$가 $u$의 그래디언트에 비례하는 양이라고 하면 $\mathbf{F}=-aDu$이고, 다음을 얻는다.

$$u_{t}=-\nabla \cdot(-aDu)=a\nabla \cdot Du=a\Delta u$$

$a=1$이라 두면 열 방정식을 얻는다.