컨볼루션(합성곱)의 정의
정의
$\mathbb{R}$에서 정의된 두 함수 $f$, $g$가 주어졌다고 하자. 아래의 적분이 존재하면 이를 두 함수 $f$, $g$의 합성곱이라 하고 $f \ast g$로 표기한다.
$$ f \ast g(x):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(y)g(x-y)dy $$
$f$, $g$가 이산함수일 경우 아래와 같이 정의한다.
$$ (f \ast g)(m)=\sum \limits_{n}f(n)g(m-n) $$
설명
합성곱이라는 번역이 있지만 컨볼루션이라는 말이 더 자주 쓰인다. 대개 위의 정의를 컨볼루션이라고 배우지만, 조금 더 일반적으로 말하자면 이는 적분 변환인 푸리에 변환에 대한 컨볼루션이다. 교환 법칙, 분배 법칙 등 여러 좋은 성질을 가지고 있기 때문에 다방면으로 쓰인다.
이산 합성곱의 경우, 해석적 정수론에서는 조금 다르게 정의하기도 한다.
합성곱이 정의될 조건은 다음과 같다
(a)
$f\in L^{1}$, $|g|<M$이면,
$$ \left| \int f(y)g(x-y)dy \right| \le \int \left| f(y)g(x-y) \right|dy \le M\int \left| f(y) \right|dy \lt \infty $$
(b)
$\left| f \right| \le M$, $g\in L^{1}$이면,
$$ \left| \int f(y)g(x-y)dy \right| \le \int \left| f(y) g(x-y) \right|dy \le M\int \left| g(x-y) \right|dy \lt \infty $$
(c)
$f,g\in L^{2}$이고 $\tilde{g}_{x}(y)=g(x-y)$라고 하자. 그러면 $\tilde{g}_{x}\in L^{2}$, $\left\| g \right\|_{2}=\left\| \tilde{g}_{x} \right\|_{2}$이고, 코시-슈바르츠 부등식에 의해
$$ \begin{align*} \left| \int f(y)g(x-y)dy \right| &= \left| \int f(y)\tilde{g}_{x}(y)dy \right| \\ & = \left| \left\langle f,\tilde{g}_{x} \right\rangle \right| \\ &\le \left\| f \right\|_{2} \left\| \tilde{g}_{x} \right\|_{2} \\ &<\infty \end{align*} $$
(d)
$f$가 유계이면서 닫힌 구간 $[a,b]$을 제외한 곳에서 $0$이고 $g$가 조각마다 연속이면,
$$ \int _{-\infty} ^{\infty} f(y)g(x-y)dy=\int _{a}^{b}f(y)g(x-y)dy<\infty $$