양자역학에서 운동량 연산자
정의
양자역학에서 운동량 연산자는 아래와 같다.
$$ \hat{p} = \frac{\hbar}{\i}\frac{\partial}{\partial x} = -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial x} $$
설명
운동량 연산자란 파동함수의 운동량을 계산해주는 함수로, 운동량이 $p = \hbar k$인 파동함수 $\psi$를 대입했을 때 다음의 식을 만족시키는 함수를 말한다. 즉 운동량에 대한 고유값 방정식이 성립하게하는 연산자를 운동량 연산자라 한다.
$$ \hat{p} \psi = p \psi $$
$\hat{p}$나 $p_{\text{op}}$ 혹은 대문자로 $P$와 같은 표현들이 쓰인다. 2차원 이상의 경우에, 각 방향으로의 운동량 연산자는 다음과 같다.
$$ \hat{p}_{x} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\quad \hat{p}_{y} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial y},\quad \hat{p}_{z} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial z} $$
따라서 3차원 운동량 연산자는 아래와 같은 그래디언트로 나타난다.
$$ \hat{p} = -\i\hbar\nabla $$
유도
쉬운 설명
1차원에서 생각하자. 우리가 찾고자 하는 함수는 운동량이 $p$인 파동함수 $\psi (x,t) = e^{i(kx - \omega t)}$에 대해서 다음의 식을 만족하는 연산자이다.
$$ \hat{p} \psi = p \psi $$
양자역학에서 운동량과 에너지는 각각 $p = \hbar k$이므로 파동함수는,
$$ \psi (x,t) = e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} $$
여기서 운동량 $p$를 얻으려면 $x$로 미분하면 된다.
$$ \dfrac{\partial }{\partial x} e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} = \dfrac{\i}{\hbar} p e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} $$
따라서
$$ \begin{align*} && \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} &= p e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} \\ \implies && \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} \psi (x, t) &= p \psi (x, t) \\ \implies && \hat{p} &= \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} \end{align*} $$
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어려운 설명1
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어려운 설명2
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