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수리물리

감마함수, 베셀함수, 르장드르 다항식 등의 특수 함수에 관한 내용은 '함수' 카테고리에서 확인할 수 있다.

기초

좌표계

벡터해석

수학적인 엄밀함은 조금 제하고 3차원에 한정하여 물리학, 공학 전공자 수준의 벡터해석을 다룬다. 일반적인 다변수해석, 벡터해석은 다변수벡터해석 카테고리에서 다룬다.

벡터 해석에서는 스칼라 함수 f=f(x,y,z)f = f(x,y,z)와 벡터 함수 f(x,y,z)=(f1,f2,f3)\mathbf{f}(x,y,z) = \left( f_{1}, f_{2}, f_{3} \right)에 대해서 다룬다. 다만 물리학에서는 벡터 함수라는 표현보다는 간단히 벡터라고 하는 경우도 많다.

물리학에서 스칼라 함수로 자주 쓰이는 표기로는 T,V,U,ϕ,ψT, V, U, \phi, \psi 등이 있다. 스칼라 함수는 스칼라 장scalar field이라고도 한다.

T=T(x,y,z)T = T(x,y,z)

수식적으로는 T(x,y,z)=2xy+z2T(x,y,z)=2xy+z^{2}와 같이 표현되는 함수이며, 구체적인 예로 온도를 들 수 있다. 3차원 공간의 어떤 좌표 (x,y,z)(x,y,z)가 주어지면 그 곳의 온도는 스칼라 값이므로 온도는 스칼라 함수로 표현된다.

벡터 함수로 자주 쓰이는 표기로는 A,B,v\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{v} 등이 있다. 벡터 함수는 벡터 장vector field이라고도 한다.

A=A(x,y,z)=(Ax,Ay,Az)=Axx^+Ayy^+Azz^ \mathbf{A} = \mathbf{A}(x,y,z) = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}}

수식적으로는 A(x,y,z)=(xy,2y2,3xyz)=xyx^+2y2y^+3xyzz^\mathbf{A}(x,y,z) = \left( xy, 2y^{2}, 3xyz \right) = xy\hat{\mathbf{x}} + 2y^{2}\hat{\mathbf{y}} + 3xyz\hat{\mathbf{z}}와 같이 표현되는 함수이며, 구체적인 예로 속도를 들 수 있다. 3차원 공간에서 운동하고 있는 어떤 물체의 좌표 (x,y,z)(x,y,z)가 주어지면 그 곳에서의 물체의 속도는 3차원 벡터이므로 속도는 벡터 함수로 표현된다.

그런데 물리에서는 벡터 함수의 변수가 시간 tt에 의존하는 경우를 많이 다룬다. 이 때는 다음과 같이 일변수 벡터함수 꼴로 표현 된다. x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) )라고 하면,

A(t)=A(x(t))=A(x1(t),x2(t),x3(t))=(A1(t),A2(t),A3(t)) \mathbf{A} (t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) = \mathbf{A}(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) = \left( A_{1}(t), A_{2}(t), A_{3}(t) \right)

벡터 대수

벡터 미분

벡터 적분

텐서해석

텐서

곡선좌표계

미분방정식


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