보조정리

수학 전반에서 보편적으로 사용해서 특정 카테고리에 묶이기에 곤란한 정의, 렘마^lemma, 트릭 등을 소개한다.

정의

• 원주율 $\pi$
• 구간 $[a,b]$
• 근과 해의 차이
• 고정점 $x_{0} = f \left( x_{0} \right)$
• 조화평균
• 수학에서 weak와 strong의 의미
• 클로즈드 폼
• 해밍 거리 $H$
• 점화식
• 연분수

정리

• 곱셈공식 표
• 루트가 포함된 분수 유리화 빠르게 하기
• 일의 자리가 5인 두자리수의 거듭제곱 쉽게하기
• 이중 근호 전개 공식 $\sqrt{a + b \pm 2\sqrt{a b}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
• 이차함수의 극점 빠르게 구하기
• 제곱수의 합 구하기
• 등차수열의 합 구하기
  • 등차수열의 부분합들도 등차수열이다
• 등비수열의 합 구하기
  • 등비수열의 부분합들도 등비수열이다
• 피보나치 수열의 일반항
• 이항정리
• 가비의 리
• 원소가 n개인 유한 집합의 부분 집합의 갯수

트릭

• 빅오 노테이션이 분모에 있을 때 분자로 올리는 법
• 지시함수의 곱 🔵
• 누적 평균 공식 🔵

부등식

• 산술평균과 기하평균 조화평균사이의 부등식
• 코시-슈바르츠 부등식
  • 확률변수의 코시-슈바르츠 부등식 🔵
• 영의 부등식
• 베르누이 부등식
• 옌센 부등식의 유한 폼
• 옌센 부등식의 적분 폼
• 옌센 부등식의 기댓값 폼 🔵
• 마코프 부등식 🔵
• 체비셰프 부등식 🔵
• 그뢴발 부등식
• 여러 부등식을 요약하는 부등식꼴 🔵
• 로그함수에 대한 부등식 $1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1$

적분 공식

• $e^{-x^{2}}$꼴의 정적분, 가우스 적분, 오일러-푸아송 적분
  • 가우스 적분의 일반화
• $e^{x^{2}}$꼴의 부정적분
• 삼각함수 적분 표
• $\dfrac{1}{x^p}$의 적분 가능성
• $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \pi$, $\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \tan^{-1} x + C$
• 자주 쓰는 이차함수의 정적분 $\int _{ \alpha  }^{ \beta  }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx }=-\frac { { (\beta -\alpha ) } ^ { 3 } }{ 6 }$
• 자연로그의 거듭제곱의 적분법 $\int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx$

극한

• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$
• $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$, $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1$