확률분포론

Elementary

통계학도라면 피할 수 없는 수리통계학, 그 중에서도 확률분포에 관한 내용을 다룬다.

기초 분포

• 일양 분포 $U(a,b)$
  • 일양 분포의 평균과 분산
  • 일양분포의 충분통계량과 최대우도추정량
• 이항 분포 $\text{Bin} (n,p)$
  • 이항 분포의 평균과 분산
  • 이항분포의 극한분포로써 푸아송분포 유도
  • 이항분포의 극한분포로써 표준정규분포 유도
  • 이항분포에서 근사시킨 정규분포의 분산 안정화
• 기하 분포 $\text{Geo} (p)$
  • 기하 분포의 두가지 정의가 가지는 차이점
  • 기하 분포의 평균과 분산
  • 기하분포의 충분통계량과 최대우도추정량
  • 기하 분포의 무기억성
• 음이항 분포 $\text{NB} (r,p)$
  • 음이항 분포의 평균과 분산
• 푸아송 분포 $\text{Poi} ( \lambda )$
  • 푸아송 분포의 평균과 분산
  • 푸아송 분포의 충분통계량과 최대우도추정량
  • 푸아송분포의 극한분포로써 표준정규분포 유도
• 지수 분포 $\exp ( \lambda)$
  • 지수 분포의 평균과 분산
  • 지수 분포의 충분통계량과 최대우도추정량
  • 지수 분포의 무기억성
  • 지수 분포와 푸아송 분포의 관계
• 정규 분포 $N \left( \mu,\sigma^{2} \right)$
  • 정규 분포의 평균과 분산
  • 정규 분포의 충분통계량과 최대우도추정량
  • 표준정규분포의 제곱은 자유도가 1인 카이제곱분포를 따른다
  • 정규 분포의 엔트로피
  • 평균이 0인 정규분포를 따르는 확률변수 거듭제곱의 기대값

샘플링 분포

• 감마 분포 $\Gamma (k,\theta)$
  • 감마 분포의 평균과 분산
  • 감마 분포의 충분통계량
  • 감마 분포와 푸아송 분포의 관계
  • 감마 분포와 지수 분포의 관계
  • 감마 분포와 카이제곱 분포의 관계
• 베타 분포 $\text{Beta} (\alpha,\beta)$
  • 베타 분포의 평균과 분산
  • 베타 분포의 충분통계량
  • 독립인 두 감마 분포에서 베타 분포 유도
  • F-분포에서 베타 분포 유도
• 카이제곱 분포 $\chi^{2}(r)$
  • 카이제곱 분포의 평균과 분산
  • 카이제곱 분포의 충분통계량
• F-분포 $F \left( r_{1} , r_{2} \right)$
  • F-분포의 평균과 분산
  • 독립인 두 카이제곱 분포에서 F-분포 유도
  • t-분포에서 F-분포 유도
• t-분포 $t \left( \nu \right)$
  • t-분포의 평균과 분산
  • t-분포의 극한분포로써 표준정규분포 유도
  • 독립인 정규 분포와 카이제곱 분포에서 스튜던트 t-분포 유도
• 코시 분포: 모평균이 존재하지 않는 분포 $C$

Advanced

실제 형식과학의 세계에서 확률분포론은 통계학의 틀을 벗어나 셀 수 없이 많은 곳에서 응용되나 이에 대해 교과서라고 할만큼 잘 정리된 문헌은 찾기 어렵다. 각각의 분포와 관계된 논문을 찾아보고 따로따로 공부해야하는 것이 현실인데, 앞으로는 생새우초밥집에서 잘 정리하겠다.

특수 분포

• 파레토 분포
• 로그-정규 분포
• 왜정규분포
• 베이불 분포
  • 레일리 분포
• 비중심 카이제곱분포
• 비중심 F-분포

다변량 분포

• 다항 분포 $M_{k} \left( n, \mathbf{p} \right)$
  • 다항 분포의 공분산 행렬 유도
  • 피어슨 정리 증명
• 다변량 정규 분포 $N_{p} \left( \mu , \Sigma \right)$
  • 다변량정규분포의 선형변환
  • 다변량정규분포에서 독립과 제로 상관관계는 동치다
  • 다변량정규분포의 조건부 평균과 분산
  • 회귀계수벡터의 다변량정규성 증명
• 다변량 t-분포 $t_{p} \left(\nu; \mu , \Sigma \right)$

방향 분포

• 변형 제1종 베셀 함수 $I_{\nu}$ 가 방향 통계학에 등장하는 이유
• 폰 미제스 분포 $\text{vM} \left( \mu , \kappa \right)$
• 이변량 폰 미제스 분포 $\text{vM}^{2} \left( \mu , \nu , \kappa_{1} , \kappa_{2} \right)$
• 폰 미제스-피셔 분포 $\text{vMF}_{p} \left( \mu , \kappa \right)$
• 빙햄-마르디아 분포
• 켄트 분포

주요 참고문헌

• Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition)
• Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition)