함수

옛말에 "수학자가 죽는다는 것은 function을 잃는 것" 이라 했다. 어떤 카테고리 하나에 묶이기엔 애매할 정도로 수학 전반에서 쓰이는 함수를 총망라한다.

• 해석적 정수론에 쓰이는 산술 함수는 정수론 카테고리에 따로 빼두었다.
• 딥러닝에 자주 쓰이는 활성화 함수는 머신러닝 카테고리에 따로 빼두었다.
• 부울 함수는 양자정보이론 카테고리에 따로 빼두었다.

익명 함수

• 상수함수 $c$
• 다항 함수 $P(z)$
  • 유리 함수 $Q(z)$
• 우함수와 기함수
  • 임의의 함수는 항상 기함수와 우함수의 합으로 표현할 수 있다
• 생성 함수
• 주기 함수
  • 주기함수의 한 주기 적분은 적분 구간에 상관없이 항상 같은 값을 가진다
  • 반파대칭 함수
• 조화 함수 $\Delta f = 0$
  • 바이하모닉 함수 $\Delta^{2} f = 0$
  • 폴리하모닉 함수$\Delta^{k} f = 0$
• 선형 함수
  • 준선형 함수
  • 켤레 선형함수
• 가법함수와 승법함수
  • 가법성을 가진 연속함수의 성질
• 합성 함수 $f \circ g$
• 단조함수, 증가함수, 감소함수
  • 생존 함수
• 일반적인 컨벡스 함수
  • 볼록 함수, 오목 함수
  • 볼록함수의 여러가지 성질
• 함수의 축소사상, 확장 $f\vert_{U}, \tilde{f}$
• 포함 함수 $i$
• 교대함수
• 행렬함수, 지수행렬함수 $\mathbf{x}(t) , A(t)$
• 레이디얼 함수
• 유계 함수
• 🔒 (24/06/13) 다가사상 $f : X \rightrightarrows Y$
• 동차 함수 $f(ax) = a^{n}f(x)$
• 변수분리 가능한 함수 $f(x, y) = g(x)h(y)$

네임드 함수

• 천장 함수와 바닥 함수 $\lceil \cdot \rceil$, $\lfloor \cdot \rfloor$
• 함수로써의 대각행렬, 대각성분 $\text{diag}$
• 지수함수 $\exp$
  • 지수함수의 미분법
• 로그함수 $\log$
  • 로그함수의 미분법
  • 지수함수와 로그함수의 극한
• 절댓값 함수 $\left| \cdot \right|$
• 계단 함수 $H$
• 🔒(24/05/16) 하드 쓰레숄딩과 소프트 쓰레숄딩 $\eta$
  • 램프 함수 $R$
  • 부호 함수 $\text{sgn}$
  • 항등 함수 $I, \text{1}, \text{id}$

범삼각함수

• 원삼각함수 $\sin$, $\tan$, $\sec$
  • 특수각에서의 함숫값
  • 덧셈정리
  • 제2코사인 법칙
  • 합차공식과 곱셈공식
  • 반각공식과 배각공식
  • 합성 공식 $A\cos\theta + B \sin \theta = \sqrt{A^{2} + B^{2}}\sin(\theta + \phi)$
  • 항등식
  • 미분법
• 역삼각함수 $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$
  • 🔒(24/04/26) 아크탄젠트2 $\arctan 2$
  • 미분법
• 쌍곡함수 $\sinh$, $\tanh$
  • 표기법과 명명의 이유
  • 덧셈정리
  • 합차공식과 곱셈공식
  • 반각공식과 배각공식
  • 합성 공식 $A\cosh\theta + B \sinh\theta = \sqrt{A^{2} - B^{2}}\sinh(\theta + \phi)$
  • 항등식
  • 미분법
• 역쌍곡함수 $\sinh^{-1}, \cosh^{-1}, \tanh^{-1}$
  • 미분법
• 싱크함수 $\operatorname{sinc}$
  • 오일러의 증명: 싱크함수를 이용한 제곱수의 역수의 합
  • 월리스 곱

알파뱃 함수

• 디랙 델타함수 $\delta$
  • 성질
• 특성함수, 지시함수 $\chi$

감마함수

• 팩토리얼, 더블 팩토리얼, 멀티 팩토리얼
  • 팩토리얼에 관한 공식들
  • 🔒(24/03/31) 팩토리얼 0이 0!=1 으로 정의되는 이유
• 감마함수 $\Gamma$
  • 감마함수 유도
  • 포흐하머 기호
  • 감마함수와 팩토리얼이 포함된 여러가지 중요한 공식
  • 🔒(24/09/01) 감마함수의 단순극
• 오일러의 극한 공식: 감마함수의 제2형
• 바이어슈트라스의 무한곱: 감마함수의 제3형
  • 오일러-마스케로니 상수의 수렴성 증명
• 오일러의 반사 공식
• 르장드르의 배 공식
• 스털링 근사 공식의 엄밀한 증명
• 디감마함수: 감마함수의 도함수와 역수의 곱 $\psi_{0} := \Gamma ' / \Gamma$
  • 감마함수의 1에서의 미분계수 $\Gamma ' (1) = - \gamma$

베타함수

• 베타함수 $B$
  • 베타함수의 삼각함수 표현
  • 베타함수와 감마함수의 관계
  • 베타 함수의 이상적분꼴 표현
• 오일러 적분: 베타 함수와 감마 함수

리만제타함수

• 리만 제타 함수 $\zeta$
  • 리만 제타 함수의 로랑 전개
• 디리클레 에타 함수 $\eta$
• 감마함수와 리만 제타 함수 디리클레 에타 함수와의 관계
• 푸아송 합 공식
• 야코비 세타 함수 $\vartheta$
• 리만 자이 함수 $\xi$
• 리만 함수 방정식과 리만 제타 함수의 자명근
• 리만 가설
• 라마누잔 합
  • $1+1+1+1+1+⋯=-1/2$ 의 해석적 증명
  • $1+2+3+4+5+⋯=-1/12$ 의 해석적 증명

특수 함수

• 특수 함수란?
• 에어리 함수
• 로드리게스 공식
• 라게르 다항함수
  • 라게르 다항식의 로드리게스 공식

베셀함수

• 베셀함수 $I_{\nu}$
  • 직교성
  • 재귀 관계
• 노이만 함수, 제2종 베셀함수 $N_{\nu}$, $Y_{\nu}$
• 한켈함수, 제3종 베셀함수 $H_{\nu}$
• 변형 베셀 방정식과 변형 베셀 함수 $I_{\nu}$, $K_{\nu}$

르장드르 다함함수

• 르장드르 다항함수
  • 직교성
    • 차수가 낮은 임의의 다항식과의 직교성
  • 재귀 관계
  • 생성 함수
  • 로드리게스 공식
• 버금 르장드르 다항함수
  • 직교성
  • 음수 차수

에르미트 다항함수

• 에르미트 다항식
  • 직교성
  • 재귀 관계
  • 생성 함수
  • 로드리게스 공식
• 에르미트 함수
  • 에르미트 함수가 만족하는 미분 방정식의 연산자 풀이

기타

• 왜 ‘음함수’는 잘못된 번역인가?
• 디랙 델타함수의 역사와 디랙이 델타 함수를 사용한 이유