푸리에해석

푸리에 급수와 푸리에 변환을 이용하여 관심 대상을 연구하는 분야를 푸리에 해석^{Fourier analysis} 혹은 조화 해석^{harmonic analysis}이라 한다.

푸리에 급수

• 삼각함수의 집합은 직교성을 가진다
• 서로 수직한 삼각함수들의 합
• 지수함수집합, 삼각함수집합은 $L^{2}$의 정규직교기저이다
• 푸리에 급수 유도
• 디리클레 커널
• 복소 푸리에 급수
• 도함수의 푸리에 계수
• 푸리에 급수의 정적분
• 푸리에 코사인 급수와 사인 급수 우함수와 기함수의 푸리에 계수
• 반파대칭함수의 푸리에 계수
• 푸리에 급수의 상수항은 함수의 한 주기 평균과 같다
• 푸리에 급수에 대한 베셀 부등식

수렴성

• 리만적분가능한 함수의 푸리에 급수는 수렴한다
• 불연속점에서 푸리에 급수의 수렴성
• 푸리에 계수의 극한은 $0$이다
• 함수의 푸리에 급수가 함수로 절대수렴 균등수렴할 충분 조건

푸리에 변환

• 푸리에 변환 유도
  • 푸리에 변환의 여러 정의와 표기법
  • 푸리에 변환의 여러가지 해석
• 푸리에 변환의 성질
• 리만-르벡 보조정리
• 푸리에 역변환 정리
  • 스무스 함수에 대한 푸리에 역변환 정리
• 플랜체렐 정리

여러 함수의 푸리에 변환

• 가우스 함수의 푸리에 변환
• 특성 함수의 푸리에 변환
• 디랙 델타 함수의 푸리에 변환

이산 푸리에 변환

• 이산 푸리에 변환^DFT
• 이산 푸리에 변환의 성질
• 이산 푸리에 역변환
• 고속 푸리에 변환^FFT

응용

• 미분방정식: 열 방정식 풀이
• 신호해석: 샘플링 정리
• 양자역학: 하이젠베르크 부등식

컨볼루션

• 컨볼루션의 정의
  • 성질
  • 다변수 함수의 컨볼루션
• 컨볼루션의 서포트
• 컨볼루션 수렴 정리
• 컨볼루션 놈 수렴 정리

멜린 변환

• 멜린변환
• 멜린변환의 컨볼루션

웨이블릿해석

• 웨이블릿의 정의
• 멀티레졸루션 아날리시스
• 스케일링 방정식

스플라인

• 스플라인, B-스플라인
• 성질
• 푸리에 변환
• 익스플리시트 공식
• 정칙성
• 중심 B-스플라인
• 스케일링 방정식

주요 참고문헌

• Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992)
• 최병선, Fourier 해석 입문 (2002)