표현론

리 군^{Lie groups}

• 군 대수 $\mathbb{C}[G]$
• 위상군
• 리 군

행렬 리 군

• 행렬 리 군
• 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$
  • 특수선형군 $\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})$
• 직교군 $\operatorname{O}(n)$
  • 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$
  • 일반직교군 $\operatorname{O}(n, k)$
• 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$
  • 특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(n)$
• 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$
  • 컴팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n)$
• 유클리드 군 $\operatorname{E}(n)$
• 하이젠베르크 군 $H$

위상적 성질

• 컴팩트 리 군
• 연결 리 군
• 단순 연결 리 군

리 대수^{Lie algebras}

• 체 위의 대수
• 리 대수 $\mathfrak{g}$
  • 리 부분대수
  • 리 대수 동형사상
• 🔒(26/09/30)리 대수의 표현 $\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$
• 리 대수의 구조상수
• 리 대수의 직합 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2}$
• 수반 사상 $\operatorname{ad}$
• 🔒(26/10/04)킬링 폼 $B(X, Y) = \trace(\ad_{X} \circ \ad_{Y})$
• 🔒(26/10/02)리 대수의 사다리 연산자
• 행렬 리 군의 리 대수
  • 🔒(26/09/04)일반 선형 리 대수 $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})$
  • 특수 선형 리 대수 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$
    • 🔒(26/09/22)2차 특수 선형 리 대수 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$
  • 🔒(26/09/12)특수 직교 리 대수 $\mathfrak{so}(n)$
  • 🔒(26/09/08)유니터리 리 대수 $\mathfrak{u}(n)$
  • 🔒(26/09/06)특수 유니터리 리 대수 $\mathfrak{su}(n)$
    • 🔒(26/09/10)2차 특수 유니터리 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$

표현^{representatios}

• 군의 표현 $\rho : G \to \operatorname{GL}(V)$
• 군 표현의 등변사상
  • 🔒(26/10/10)얽힘 사상
• 군의 기약표현
• 군 표현의 직합 $\rho = \rho_{1} \oplus \rho_{2}$

주요참고문헌

• William Fulton and Joe Harris. Representation Theory: A First Course (2004)
• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations (2nd)