편미분방정식

기초

• 편미분 방정식이란
  • 쌍곡형 편미분방정식
  • 포물형 편미분방정식
  • 타원형 편미분방정식
• 미분연산자와 심볼
• 미분방정식의 기본해, 그린 함수
• 멀티 인덱스 표기법
• 경계의 매끄러움
• 외향 단위 법선 벡터
• 그린-가우스 정리, 부분적분 공식
• 그린의 공식
• 몰리파이어
• 몰리피케이션
  • 몰리피케이션의 수렴
• 경계값 문제(BVP)
  • 디리클레 경계조건
  • 노이만 경계조건
  • 로빈 경계조건
• 코시 문제, 초기값 문제(IVP)

선형 편미분방정식

• 정상파 편미분방정식의 풀이
• 균일 진행파 편미분방정식의 풀이
• 비균일 진행파 편미분방정식의 풀이

수송 방정식

• 수송 방정식
• 초기값 문제와 비동차 문제

라플라스 방정식

• 라플라스 방정식과 푸아송 방정식
• 직교변환에 대한 불변성
• 라플라스 방정식의 기본해
• 평균값 공식
• 조화 함수의 성질
  • 최대원리
  • 스무싱 이펙트

구면좌표계

• 지름 성분의 일반해
• 극각, 방위각 성분의 일반해: 구면 조화함수
• 일반해

푸아송 방정식

• 기본해
• 디리클레 문제의 해의 유일성

열 방정식

• 열 방정식
• 푸리에 급수
• 열방정식의 풀이
• 디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

파동 방정식

• 파동 방정식
• 파동방정식에 대한 코시 문제의 풀이
  • 1차원 달랑베르 공식
• 디리클레 경계 조건이 주어진 파동방정식에 대한 초기값 문제의 풀이
• 초기조건이 $0$인 파동방정식의 해

헬름홀츠 방정식

• 헬름홀츠 방정식

비선형 편미분방정식

비선형 1계 편미분 방정식

• 표기법
• 특성 방정식
• 특성 방정식을 이용한 풀이
• 경계의 직선화

버거스 방정식

• 비점성 버거스 방정식의 풀이
• 비점성 버거스 방정식에서의 질량 보존 법칙
• 랜킨-위고니오 조건과 엔트로피 조건
• 버거스 방정식에 대한 리만 문제의 풀이

해밀턴-야코비 방정식

• 라그랑지안과 오일러-라그랑주 방정식
• 해밀턴-야코비 방정식과 해밀턴 방정식
• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식으로부터 유도되는 해밀턴 방정식
• 르장드르 변환
• 해밀토니안과 라그랑지안의 컨벡스 듀얼리티
• 호프-락스 공식
  • 호프-락스 공식은 해밀턴-야코비 방정식을 만족한다

주요 참고문헌

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010)