측도론

측도론과 확률론 요약: 기초적인 정의와 개념들을 하나의 글에 정리해놓았다.

실수 $\mathbb{R}$ 에서 정의되는 측도

• 영집합
• 외측도 $m^{\ast}$
• 시그마 대수와 가측 공간 $(X, \mathcal{E})$
• 르벡 측도 $m$
• 보렐 집합
• 르벡 가측 함수
• 측도론에서의 거의 어디서나와 거의 확실히
• 임의의 함수를 두개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법
• 임의의 함수의 절대값을 두 개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법

적분

• 가측 공간의 파티션과 리파인먼트
• 르벡 적분
  • 리만적분의 일반화로써의 르벡적분
• 파투의 보조정리
• 단조 수렴 정리
• 르벡 적분가능
• 지배 수렴 정리
• 측도론에서의 레비의 정리

일반적인 측도

• 대수, 준측도
• 측도의 일반적인 정의
  • 시그마 유한 측도
  • 정칙 측도
• 가측 함수
  • 실수값 가측 함수의 성질
  • 가측함수로 수렴하는 단순함수열의 존재성
  • 예고로프 정리: 점별수렴하는 가측함수는 거의 균등수렴한다
  • 루신 정리: 가측함수를 근사하는 연속함수가 존재한다
• 보렐 $\sigma$-대수, 보렐 가측 공간
• 확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건
• 카라테오도리 정리
• 측도의 절대 연속
  • 실함수의 절대 연속
• 라돈-니코딤 도함수
• 라돈-니코딤 정리
• 균등적분가능성
• 측도 수렴
• 비탈리 수렴 정리
• 파이 시스템과 람다 시스템
• 딘킨의 파이-람다 정리
• 측도의 약한 수렴

부호 측도와 미분

• 부호 측도
• 양집합, 음집합, 영집합
• 한 분해 정리
• 뮤츄얼리 싱귤러
• 조던 분해 정리
• 토탈 배리에이션
• 부호 측도의 절대 연속
• 르벡-라돈-니코딤 보조 정리
• 절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계
• 복소 측도, 벡터 측도
• 맥시멀 보조정리
• 하디-리틀우드 맥시멀 함수
• 맥시멀 정리
• 국소 적분가능한 함수의 평균값은 중심의 함숫값으로 수렴한다

주요 참고문헌

• Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995)
• Capinski, Measure, Integral and Probability (1999)
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999)