추상대수

대수학^Algebra은 널리 알려져있듯 현실 속 문제를 해결하기 위해 필요하던 실용적인 기술이었다. 현대 수학에서는 순수수학의 큰 갈래 중 하나로, 지금도 암호론이나 위상데이터분석과 같은 실용적인 분야에도 응용되고 있다. 보통의 수학도라면 대수를 모른다고 다른 공부를 전혀 할 수 없는 정도는 아니지만, 대수를 알았다면 고민할 필요도 없어지는 문제나 개념이 생각보다 많다. 대수학이 적성에 맞든 안 맞든 수학계의 당연한 상식을 모아놓은 것 같은 과목이니 팩트 중심으로라도 공부해두는 것을 강하게 추천한다.

이항연산구조

• 이항연산 $\ast$
• 동형사상
• 여러 사상들
• 제로멀피즘 $0$

군론

• 반군
• 모노이드
• 군 $G$
  • 좌우간약율
  • 항등원과 역원의 유일성
  • 양말-신발 성질 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
  • 교환자 $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$
• 가환군

순환군

• 순환군 $\left< a \right>$
  • 모든 순환군은 가환군이다
  • 순환군의 부분군은 순환군이다
  • 모든 순환군은 정수군과 동형이다
• 클라인 사원군 $V$

대칭군

• 대칭군 $S_{A}$
  • 정이면체군 $D_{n}$
  • 짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않는다
• 케일리의 정리
• 궤도, 순환, 전위
• 교대군 $A_{n}$

몫군

• 부분군의 정의와 부분군 판정법
• 잉여류와 정규부분군 $H \triangleleft G$
  • 잉여류의 성질
• 라그랑주의 정리
• 군의 데카르트 곱
• 핵, 커널 $\ker$
• 몫군 $G/H$

리 군

• 리 군
• 일반선형군 $\mathrm{GL}(n)$
• 특수선형군 $\mathrm{SL}(n)$
• 직교군 $\mathrm{O}(n)$
• 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$
• 특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(n)$

그룹 액션

• 군의 작용
• 등방부분군 $G_{x}$
• 번사이드 공식
• $p$-군
• 코시 정리
• 쉴로브 정리

동형 정리

• 제1동형 정리
• 제2동형 정리
• 제3동형 정리

환론

• 환 $R$
  • 환에서 곱셈에 대한 규칙
  • 교환자 $[a,b] = ab - ba$
  • 야코비 항등식 $a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) = 0$
• 불리언 링
  • 환의 영인자가 멱등원이면 직합으로 나타낼 수 있다
• 뇌터 환
• 이원수
  • 이원수 환 위에서 정의되는 미분가능한 실함수

다항식

• 다항식의 환 $F [ x ]$
• 다항함수의 영
• 나눗셈 정리
• 인수 정리
• 다항함수의 기약원
  • 아이젠슈타인 판정법

아이디얼

• 부분환의 정의와 부분환 판정법
• 아이디얼 $I$
  • 단원을 가지는 아이디얼
• 극대 아이디얼 $M$
• 소 아이디얼 $P$
• 주 아이디얼 $\left< a \right>$
• 래디컬과 닐래디컬 $\text{rad}$, $\text{nil}$

정역

• 영인자와 정역 ID
• 주 아이디얼 정역 PID
• 유일 인수분해 정역 UFD $\gcd$
• 유클리드 정역 ED
• 인티그럴 도메인의 놈
• 베주 정역

모듈

• R-모듈
• F-벡터스페이스
• 등급 모듈

대수적 미분

• 분수환과 분수체
• 미분환 $\left( R, d \right)$
• 미분체 $\left( F, \partial \right)$
• 상미분환과 편미분환 $\left( R , \Delta \right)$

체론

• 체 $F$
• 확대체와 크로네커 정리 $F \le E$
• 단순확대체 $E = F \left( \alpha \right)$
  • 실수체로 복소수체를 만들어내는 대수적인 방법 $\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> \simeq \mathbb{C}$
• 추상대수학에서의 벡터 공간
• 대수적 확대체
• 추상대수의 용어로 표현된 대수학의 기본정리
• 소체 $\mathbb{Z}_{p}$, $\mathbb{Q}$
• 켤레 동형사상 정리
• 체의 자기동형사상 $\text{Auto}$

3대 작도불능문제

• 대수적 수와 초월수
• 작도가능수
• 3대 작도 불능 문제

갈루아 이론

• 최소분열체
• 가분확대체
• 갈루아체 $\text{GF} \left( p^{n} \right)$
• 갈루아 이론
• 2차 방정식의 근의 공식 유도 무작정 따라하기
• 3차 방정식의 근의 공식
• 2차/3차/n차 방정식의 근과 계수의 관계

주요 참고문헌

• Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition)
• Sze-Tsen Hu. (1968). Introduction to Homological Algebra
• Hatcer. (2002). Algebraic Topology