집합론

집합론은 현대 수학의 근간을 이루는 중요한 이론으로, 보통의 학부생들은 이를 시작으로 진정한 수학의 추상성과 마주하게 된다. 집합론을 배우는 이유는 새로운 개념을 배우기 위해서가 아니라 원래 알던 모호한 개념을 엄밀하고 견고한 형태로 갈아엎기 위함이다. 당장은 쓸모없어 보이더라도 자만하지 말고 꼼꼼하게 공부하자.

초등논리

명제

• 명제와 결합자, 진리표
• 항진 명제와 항위 명제
  • 공진리
• 드 모르간의 법칙

간접증명법

• 대우법의 수리논리적 증명
• 귀류법의 수리논리적 증명
• 삼단논법의 수리논리적 증명
• 수학적 귀납법

집합과 공리

집합

• 집합과 명제함수의 정의
  • 집합의 포함관계 $\subset$
  • 명제함수의 한정규칙 $\forall, \exists$
  • 원소나열법에서의 햇표기 $\hat{k}$
• 러셀의 역설
• 집합족과 첨수

공리계

• 선택 공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 집합론
  • 외연 공리 $=$
  • 공집합 공리 $\emptyset$
  • 짝 공리
  • 분류 공리꼴 $\cap$, $\setminus$, $X^{c}$
  • 합집합 공리 $\cup$
  • 멱집합 공리 $\mathcal{P}(X) = 2^{X}$
  • 무한 공리
  • 정칙성 공리
  • 치환 공리꼴
  • 선택 공리

관계와 함수

순서쌍

• 데카르트 곱 $\times$
• 이항관계
• 동치관계 $\sim$
• 부분순서 집합

분할

• 집합의 분할
  • 분리합집합: 서로소인 합집합
  • 단위 분할
• 동치류
• 동치관계에 의한 집합의 분할

사상

• 집합론으로 엄밀하게 정의되는 함수와 상, 수열
• 함수의 원상
  • 포화, 파이버
• 단사, 전사, 전단사, 역함수
  • 전사, 단사, 공역, 치역을 쉽게 외우는 방법, 뜻풀이

기수

무한

• 집합론으로 엄밀하게 정의되는 유한 집합과 무한 집합
• 가산집합과 비가산집합
• 칸토어의 대각선 논법
• 집합의 기수 $\text{card}$

연속체 가설

• 칸토어-베른슈타인 정리
• 칸토어의 정리
• 실수의 기수와 유리수의 기수의 크기 비교
• 연속체 가설

주요 참고문헌

• 이흥천 역, You-Feng Lin. (2011). 집합론(Set Theory: An Intuitive Approach)