위상수학

위상수학^Topology은 공간에 대한 탐구와 함수의 연속성에 대한 연구로써, 학부생의 입장에서는 해석개론의 일반화로 볼 수도 있다. 수학 전반에서 그 쓰임새는 가히 집합론에 조금 못 미치는 수준이라 해도 과언이 아니다.

일반 위상

토폴로지

• 위상공간이란? $\left( X, \mathscr{T} \right)$
• 자명 위상과 이산 위상
• 부분공간위상 상대위상
  • 부분공간에서 내부에 대한 여러 성질
• 집적점과 수렴, 도집합 $a '$
• 내부에 대한 여러 동치 조건들 $A^{\circ}$
• 가분과 폐포 $\overline{A}$
• 일반적인 위상공간에서 수열의 극한은 유일하지 않다
  • 여유한위상과 여가산위상
• 열린 함수와 닫힌 함수

기저

• 기저와 국소기저 $\mathscr{B}$
  • 기저의 동치 조건
  • 기저로부터 생성되는 위상
• 부분기저 $\mathscr{S}$
• 제1가산과 제2가산
  • 거리공간의 제1가산성과 제2가산성
• 알렉산더 부분기저 정리 증명

위상적 성질

호메오멀피즘

• 연속이란?
  • 접착 보조정리
• 위상동형이란?
  • 위상 동형 사상은 기저를 보존한다
• 임베딩

위상적 성질

• 위상적 성질
  • 계승적 성질
• 고정점 성질
• 분리성질 $T_{n}$
  • T1-공간인 것과 모든 유한부분집합이 닫혀있는 것은 동치다
  • 하우스도르프 공간에서는 시퀀스의 극한이 유일하다
  • 우리손 보조정리와 티체 확장 정리

연결성

• 연결성이란?
  • 연결 공간의 여러가지 동치조건
  • 전사 연속함수는 연결성을 보존한다
  • 연결 공간의 부분 공간의 성질들
• 중간값 정리
• 연결 성분과 완전 분리 공간
• 경로연결성이란?
• 경로연결 성분
  • 위상수학자의 사인 곡선과 빗 공간
• 국소연결과 국소경로연결

컴팩트

위상수학에서 배우는 많은 것들이 중요하지만, 컴팩트는 그 중에서도 특별히 더 중요하다. 아무리 위상수학이 적성에 안 맞아도 컴팩트만큼은 놓지 말고 열심히 공부하도록 하자.

• 컴팩트, 프리컴팩트란?
  • 완전 유계 공간
  • 거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치다
• 집적점 컴팩트와 볼자노-바이어슈트라스 성질
• 가산 컴팩트와 린델뢰프
• 수열 컴팩트
• 유한 교집합 성질 f.i.p.
• 컴팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다
• 컴팩트 공간과 연속함수에 대한 유용한 성질들
• 최대최소값 정리
• 르벡 정리
• 균등연속 정리
• 페아노 공간 충전 정리
• 한 점 컴팩트화

공간

곱과 몫

• 약한 위상
• 몫 공간 $X/\sim$
• 곱 공간 $\prod$
• 티호노프 정리 증명
• 함수공간 $Y^{X}$

매니폴드

• 다양체란?
• 좌표계란?
• 분리합집합 위상 공간

네임드 공간

• 칸토어 집합
  • 베르의 범주 정리 증명
• 토러스 $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$

주요 참고문헌

• Croom. (1989). Principles of Topology
• Munkres. (2000). Topology(2nd Edition)