위상데이터분석

TDA^{Topological Data Analysis}는 2020년대 들어 특히 각광 받고 있는 데이터 분석 기법으로써, 대수위상^{Algebraic Topology}을 응용해서 데이터가 가지고 있는 본질적인 형태 자체에 관심을 가지는 방법론이다. 통계학과 딥러닝이 휩쓸고 간 현대사회에 남은 난제들을 풀기 위한 유망주로 꼽히며, 특히 비정형 데이터를 분석하기에 용이한 것으로 알려져있다.

대수위상

호모토피

• 디스크와 스피어 $D^{n}$, $S^{n-1}$
• 호모토피 $H : I \times I \to X$
  • 호모토피의 클래스 $f \simeq g$
• 기본군 $\pi_{1} \left( X , x_{0} \right)$
• 커버링과 리프트 $p \circ \tilde{f} = f$
  • 리프팅 정리 증명
  • 모노드로미 정리 증명
• 유도된 호모몰피즘 $\varphi_{\ast}$
• 연속함수의 상대적 호모토피 $f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}$
• 원의 기본군은 정수군과 동형이다 $\pi_{1} S^{1} \simeq \mathbb{Z}$
• 곱공간의 기본군은 기본군들의 곱과 아이소멀픽하다 $\pi_{1} AB \simeq \pi_{1} A \times \pi_{1} B$
  • 토러스의 기본군은 두 정수군의 곱과 동형이다 $\pi_{1} T^{2} \simeq \mathbb{Z}^{2}$
• 호모토피 타입
• 축약가능 공간
• 리트랙트 $r \circ i = \text{id}$

컴플렉스

• 위상수학에서 컴플렉스란?
• CW 컴플렉스
• 심플리셜 컴플렉스 $K$
• 추상 심플리셜 컴플렉스
• $\Delta$-컴플렉스
• 비에토리스-립스 컴플렉스 $\text{VR}_{\varepsilon}$
• 체흐 컴플렉스 $\check{C}_{\varepsilon}$
  • 벨츨 알고리즘: 최소내포디스크 문제의 해법

프리그룹

• 프리 그룹 $F[A]$
  • 프리 그룹의 서브 그룹
• 토션 서브 그룹 $T$
• 행렬의 스미스 노멀 폼
  • 스미스 노멀 폼 계산 알고리즘 증명
• 호모몰피즘의 스미스 노멀 폼
• 유한 생성 아벨군의 기본정리 증명

호몰로지

• 호몰로지 그룹 $H_{n}$
  • 호몰로지 그룹의 베티 수 $\beta_{p}$
• 심플리셜 호몰로지 그룹 $H_{n}^{\Delta}(X)$
• 바운더리 행렬 $\partial_{p}$
• 오일러 지표와 베티 수의 관계 $\chi = \sum (-1)^{p} \beta_{p}$

계산위상

지속성 호몰로지

• 컴플렉스의 필트레이션 $K^{i}$
• 퍼시스턴트 호몰로지 그룹 $H_{k}^{i,p}$
• 퍼시스턴트 모듈 $\mathcal{M}$
• 조모로디안의 알고리즘 유도
• 조모로디안의 알고리즘 구현

주요 참고문헌

• Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction
• Dantchev. (2012). Efficient construction of the Cech complex
• Hatcer. (2002). Algebraic Topology
• Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology
• Raul Rabadan. (2020). Topological Data Analysis for Genomics and Evolution
• Sheffar. (2020). Introductory Topological Data Analysis
• Zomorodian. (2005). Computing Persistent Homology