상미분방정식

기초

• 미분 방정식의 정의와 예
• 미분 방정식의 분류

1계 미분방정식

선형 미분방정식

• 분리 가능한 미분방정식
• 완전 미분방정식의 정의와 판별법
  • 완전 미분방정식의 풀이
• 적분인자법
• 동차함수와 미분방정식
• 상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식
• 오일러 미분 방정식
  • 비동차 오일러 미분 방정식
• 피카드 메소드
• 1계 상미분방정식의 초기값 문제에 대한 솔루션의 존재성과 유일성

비선형 미분방정식

• 베르누이 미분방정식
• 리카티 미분방정식
• 클레로 미분방정식

2계 선형 미분방정식

동차 방정식

• 동차 미분방정식에서 동차의 의미
• 상수 계수의 2계 선형 동차 미분방정식과 특성방정식
• 선형 동차 미분방정식의 해의 선형 결합도 해이다
• 2계 선형 동차 미분방정식의 해의 기본집합과 론스키안
• 2계 선형 미분 방정식의 두 해의 론스키안
• 2계 선형 동차 미분방정식의 풀이
• 2계 미분방정식의 두 번째 해를 구하는 방법

비동차 방정식

• 2계 선형 비동차 미분방정식의 일반해

2계 선형 미분방정식의 급수해

• 급수 해를 이용한 미분 방정식의 풀이
• 프로베니우스 방법
• 베셀 미분방정식의 급수해: 제1종 베셀 함수
• 베셀 미분방정식의 두번째 급수해: 제2 종 베셀 함수, 노이만 함수, 베버 함수
• 베셀 함수가 해인 미분 방정식
• 체비셰프 미분방정식의 급수해: 체비셰프 다항식
• 체비셰프 미분방정식과 체비셰프 다항식
• 르장드르 미분방정식의 급수해: 르장드르 다항식
• 버금 르장드르 미분방정식의 급수해
• 르장드르 미분 방정식의 삼각함수 꼴
• 에르미트 미분방정식의 급수해: 에르미트 다항식
• 라게르 미분 방정식의 급수해
• 에어리 미분 방정식의 급수해

라플라스 변환

• 라플라스 변환의 정의와 존재성
• 라플라스 변환의 선형성
• 라플라스 변환을 이용한 2계 선형 비동차 미분방정식의 풀이
• 라플라스 변환의 컨볼루션(합성곱)

여러함수의 라플라스 변환

• 라플라스 변환 표
• 상수함수
• 지수함수
• 삼각함수
• 쌍곡함수
• 다항함수
• 1계 도함수
• n계 도함수
• 계단 함수
• $\cal{L}\left\{ e^{ct}f(t) \right\}$: 라플라스 변환의 평행이동
• $\cal{L}\left\{ f(ct) \right\}$: 다일레이션의 라플라스 변환
• $\cal{L}^{-1} \left\{ F(ks) \right\}$: 다일레이션의 라플라스 역변환
• $\cal{L}^{-1} \left\{ F(as+b) \right\}$
• 주기 함수
• 디랙 델타 함수
• $\cal{L}\left\{ t^{n}f(t) \right\}$

연립 1계 선형 미분방정식

• 1계 선형 미분 방정식 시스템
• 피카드 정리

주요 참고문헌

• Mary L. Boas, 수리물리학(Mathematical Methods in the Physical Sciences, 최준곤 역) (3rd Edition, 2008)
• William E. Boyce , Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017)