르벡공간

르벡 공간 $L^{p}$에 대해서 다룬다. 측도나 르벡적분 자체에 대해서는 측도론 카테고리를 참고하자.

르벡 공간

• $L^{p}$ 공간, 르벡 공간
  • 함수의 내적을 정적분으로 정의하는 이유
  • $L^{1}$ 공간
  • $L^{p}$ 수렴
• $L^{\infty}$ 공간
• 가중 $L^{p}$ 공간
• $L_{\text{loc}}^{1}$ 공간

기본 성질

• 코시-슈바르츠 부등식
• 횔더 부등식
  • 일반화된 횔더 부등식
  • 역방향 횔더 부등식
  • 횔더 부등식의 역: $L^{p}$ 함수일 충분조건
• 민코프스키 부등식
  • 역방향 민코프스키 부등식
• 인터폴레이션 부등식
• 영의 정리
• $L^{p}$ 공간의 임베딩 정리

균등 볼록성

• 클락슨 부등식의 증명
• $L^{p}$ 공간이 균등하게 볼록하고 반사적임을 증명

놈 듀얼

• $L^{p}$ 공간의 선형 범함수
• $L^{p}$ 공간에 대한 리즈 표현 정리

$L^{2}$ 공간

• $L^{2}$ 공간
  • $L^{1}$ 공간과 $L^{2}$ 공간의 관계
• 직교 함수와 직교 집합
• 정규직교기저, 완비, 정규직교집합
• 베셀 부등식
• 트랜슬레이션, 모듈레이션, 다일레이션
  • 역작용소
  • 교환관계
• 작용소로써의 푸리에 변환

스튀름-리우빌 형식

• 스튀름-리우빌 미분 방정식
• S-L 문제에서 고유값과 고유함수
• 정칙 스튀름-리우빌 문제의 솔루션의 직교성

주요 참고문헌

• Capinski, Measure, Integral and Probability (1999)
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999)
• Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003)
• Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010)