동역학

어떤 시점의 스테이트가 그 과거의 스테이트로 표현되는 계를 동역학계라고 한다. 예로써 $x_{n}$ 이 있다면 이것이 어떠한 맵 $f$ 에 대해 $x_{n+1} = f (x_{n} )$ 과 같이 나타낼 수 있을 때, 혹은 $x$ 의 상태가 어떠한 함수 $g$ 에 대해 $\dot{x} = g(x)$ 와 같이 미분방정식으로 나타날 수 있는 경우를 생각해볼 수 있다. 이때 결정론적인 값이 구해지는 시스템을 동적 시스템이라고 부르며, 비결정론적인 시스템을 확률과정이라고 부른다.¹

동역학은 이러한 동역학계에 대한 수학적 접근으로써, 수리적 모델링과 시스템의 분석 등을 포함하는 수학의 한 분과다. 국내에서의 낮은 인지도와는 달리 물리, 화학, 생물, 비즈니스 등에서 다채롭게 응용되는 큰 갈래로, 시공간에 대한 추상적인 탐구는 물론 실전적인 문제 해결에서도 활발하게 쓰이고 있다.

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일반 동역학

동역학계의 엄밀한 정의

집합과 공간

맵

미분방정식

분기 이론

프랙털

🔒(25/02/04) 자기유사 집합
🔒(25/02/12) 폰 코흐 커브
🔒(25/02/20) 프랙털
- 🔒(25/02/08) 하우스도르프 차원
- 🔒(25/02/16) 유사성 차원
- 🔒(25/02/24) 박스-카운팅 차원

수리적 모델링

네임드 시스템

인구 성장

맬서스 성장 모델: 이상적인 집단 성장 🟢
로지스틱 성장 모델: 집단 성장의 한계 🟢
- 수리생물학에서의 앨리 효과 🟢
곰페르츠 성장 모델: 시간에 따른 성장 지연 🟢
바스 확산 모델: 혁신과 모방
롯카-볼테라 포식자-피식자 모델 🟢
- 🔒(25/01/07) 홀링 타입 함수형 반응 🟢
- 🔒(25/01/11) 먹이사슬 시스템 ⚫🟢
롯카-볼테라 경쟁 모델 🟢
메이-레너드 경쟁 모델 🟢
란체스터 법칙
일제사격 전투 모델
레즐리 연령 구조 모델 🟢
폰 푀르스터 방정식 🟢
인구 균형 방정식 🟢

질병 확산

커플링

넌스무스 시스템

넌스무스 시스템
- 조각마다 스무스한 시스템 PWS
- 미분포함식 $\dot{x} \in F(x)$
DC-DC 벅 컨버터 ⚫
아토피성 피부염 시스템 🟢
진동 충격 모델 ⚫
🔒(24/12/16) 멤리스터 힌드마쉬-로즈 뉴런 모델 ⚫🟢

시뮬레이션

셀룰러 오토마타

동역학적 모델 시뮬레이션

에이전트 기반 시뮬레이션

격자 모델 시뮬레이션

주요 참고문헌

Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology
Ottar N. Bjørnstad. (2018). Epidemics Models and Data using R
Capasso. (1993). Mathematical Structures of Epidemic Systems
Guckenheimer. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields
Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition)
Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition)
Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems
Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition)

Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p2. ↩︎

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