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기하학

논증기하학

반드시 논증기하라고 할 수 있는 것만을 포함하는 것은 아니고, 중학교를 비롯한 교과과정에서부터 학부 2학년까지 정도를 아우르는 내용을 다루려 한다.

평면 도형

입체 도형

미분기하학

국소 곡선 이론

전역 곡선 이론

국소 곡면 이론

곡면이론에서, 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$의 정의역인 $U$의 좌표의 표기법으로 $(u_{1}, u_{2})$ 혹은 $(u,v)$를 쓴다. 아인슈타인 표기법 $a_{i}b_{i} = \sum_{i}a_{i}b_{i}$을 적극적으로 사용하는 경우에는 $(u_{1}, u_{2})$를 사용한다. 그렇지 않고 불필요한 아랫첨자로 표기법이 더러워지는 걸 피해고자 할 때는 $(u, v)$를 쓴다.

제1 기본형식과 제2 기본형식

측지선과 평행

바인가르텡 맵모양 연산자

곡률

곡면의 기본 정리

상수 곡률인 곡면들

전역 곡면 이론

단순 곡률

방향성

가우스-보네 정리

  • 가우스-보네 공식
  • 전역 가우스-보네 공식
  • 오일러 지표 $\chi = V - E + F$
  • 정칙 영역, 단순 영역, 삼각화
  • 지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계 $\chi = 2(1-g)$

야코비 정리

  • 야코비 정리

벡터필드의 인덱스

  • 벡터 필드의 영점과 인덱스 $I(V) = \sum i_{p}(V)$
  • 푸앙카레-브라우어 정리 $I(M) = \chi(M)$

미분형식

미분다양체와 리만기하학

벡터 필드

리만 메트릭, 접속

측지선

  • 측지선
  • [플로우]
  • [균질성]
  • 지수 사상
  • 미분가능한 곡선과 최소화
  • 매개변수화된 곡면
  • 가우스 보조정리
  • 최소화 성질을 갖는 측지선
  • 지수 사상과 노말 네이버후드
  • 푸앙카레 메트릭

곡률

주요 참고문헌

  • Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
  • Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)

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