기하학

논증기하학

반드시 논증기하라고 할 수 있는 것만을 포함하는 것은 아니고, 중학교를 비롯한 교과과정에서부터 학부 2학년까지 정도를 아우르는 내용을 다루려 한다.

• 🔒(25/10/14)유클리드 공리계
• 🔒(25/10/16)힐베르트 공리계
• 🔒(25/10/18)버코프 공리계

평면 도형

• 🔒(25/10/20)직선
  • 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식 $d=\frac { |2k| }{ \sqrt { m^{ 2 }+1 } }$
  • 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 항상 -1이다
  • 수직선위의 내분점과 외분점
  • 🔒(25/10/26)수선의 발의 좌표 공식 유도
• 🔒(25/10/22)삼각형
  • 피타고라스의 정리
  • 한 직선과 x축 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이
• 사각형
  • 정사각형
  • 직사각형
  • 마름모
  • 평행사변형
  • 사다리꼴
• 원
  • 라디안
  • 기울기가 $m$인 접선의 방정식
  • 원 위의 한 점에서의 접선의 방정식
  • 중심각이 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사한다
• 이차곡선, 원뿔곡선
  • 포물선
    • 포물선의 접선의 방정식 유도
    • 포물선의 초점을 지나는 직선이 가지는 성질
  • 타원
    • 타원의 방정식 유도
    • 타원의 둘레
    • 적분을 이용한 타원의 넓이 구하기
  • 쌍곡선

입체 도형

• 구의 입체각
• 평행육면체
  • 평행육면체 부피 공식
• 벡터공간에서 정의되는 기저의 방향
• 일반적인 각도와 수직의 정의
• 일반적인 직선, 평면, 구의 정의
• 일반적인 나선의 정의
• 일반적인 평행육면체의 정의
• 모듈라이 공간
  • 사영 공간
• 컨벡스 헐의 정의
• 심플렉스 $\Delta^{n}$
• 접점과 횡단점

미분기하학

• 곡선의 정의
  • 재매개변수화
• 폐곡선의 정의
  • 폐곡선의 회전수
• 단순 곡선의 정의

국소 곡선 이론

• 접선과 탄젠트 벡터 필드
• 현의 정의
• 프레네-세레의 도구: 곡률, 접선, 법선, 종법선, 비틀림
  • 접평면과 법평면
• 프레네-세레 공식
  • 3차원 유클리드 공간에서 곡선이 평면 속에 놓이는 동치조건
  • 랑크레 정리
  • 구면에 놓이는 곡선에 대한 공식
• 재매개변수화와 프레네-세레의 도구
• 곡선의 기본정리

전역 곡선 이론

• 평면곡선의 탄젠트, 노멀, 곡률
• 평면곡선의 회전수
• 회전수 정리
• 평면 단순 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식
• 등주 부등식

국소 곡면 이론

곡면이론에서, 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$의 정의역인 $U$의 좌표의 표기법으로 $(u_{1}, u_{2})$ 혹은 $(u,v)$를 쓴다. 아인슈타인 표기법 $a_{i}b_{i} = \sum_{i}a_{i}b_{i}$을 적극적으로 사용하는 경우에는 $(u_{1}, u_{2})$를 사용한다. 그렇지 않고 불필요한 아랫첨자로 표기법이 더러워지는 걸 피해고자 할 때는 $(u, v)$를 쓴다.

• 단순 곡면, 좌표조각사상
  • 3차원 단위 구의 좌표조각사상
  • 3차원 공간의 토러스의 좌표조각사상
  • 3차원 공간의 뫼비우스 띠의 좌표조각사상
• 좌표 변환
• 접평면과 노말 벡터
• 탄젠트 벡터
• 단순 곡면 위의 매개변수 곡선
• 고유조각사상
• $C^{k}$ 곡면
• 회전면
  • 성질

제1 기본형식과 제2 기본형식

• 제1 기본형식
  • 구체적인 예시
  • 제1 기본형식과 좌표변환의 관계
• 법곡률과 측지곡률 $\kappa_{n}$, $\kappa_{g}$
• 제2 기본형식
  • 성질
• 크리스토펠 심볼 $\Gamma_{ij}^{k}$
• 가우스 공식
• ‘내재적/본질적’의 정의
  • 크리스토펠 심볼은 내재적이다
  • 측지곡률은 내재적이다

측지선과 평행

• 측지선
• 회전면 위의 측지선
• 유일성
• 최단거리 곡선이면 측지선이다
• 곡면 위의 곡선을 따라서 평행한 벡터 필드
• 곡선을 따라서 평행한 벡터필드일 필요충분조건
• 벡터 필드의 평행이동
• 성질

바인가르텡 맵^{모양 연산자}

• 방향 도함수 $\mathbf{X}f$
• 노말 섹션의 정의와 무스니어의 정리
• 바인가르텡 맵 $L$
• 바인가르텡 방정식
• 제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계

곡률

• 주곡률 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$
• 오일러 정리
• 가우스 곡률과 평균 곡률 $K = \kappa_{1}\kappa_{2}, H = \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2}$
• 곡면의 넓이
• 가우스 맵의 정의와 가우스 곡률과의 관계
• 리만 곡률 텐서 $R_{ijk}^{l}$, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식
• 가우스의 위대한 정리

곡면의 기본 정리

• 두 곡면 사이에서 미분가능한 함수
• 등거리 사상
• 국소 등거리 사상
• 곡면의 기본 정리

상수 곡률인 곡면들

• 가우스 곡률에 따른 회전면의 분류
• $K \gt a^{2}:$ 곡률이 양수인 회전면
  • 곡률이 양수인 두 회전면은 국소 등거리이다
• $K = 0:$곡률이 $0$인 회전면
• $K \lt -a^{2}:$ 곡률이 음수인 회전면

전역 곡면 이론

• 측지선 좌표조각사상
  • 크리스토펠 심볼
  • 가우스 곡률

단순 곡률

• 컴팩트 곡면
• 컴팩트 곡면이 구^spehre일 조건

방향성

• 가향곡면
• 곡면의 리젼과 리젼의 경계
• 전각변동^{total angular variation}
• 널 호모토픽
• 단순 연결 리젼

가우스-보네 정리

• 가우스-보네 공식
• 전역 가우스-보네 공식
• 오일러 지표 $\chi = V - E + F$
• 정칙 영역, 단순 영역, 삼각화
• 지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계 $\chi = 2(1-g)$

야코비 정리

• 야코비 정리

벡터필드의 인덱스

• 벡터 필드의 영점과 인덱스 $I(V) = \sum i_{p}(V)$
• 푸앙카레-브라우어 정리 $I(M) = \chi(M)$

미분형식

• 코탄젠트 공간 $T_{p}^{\ast}M$, $1$차 미분형식 $\omega : M \to T_{p}^{\ast}M$
• $2$차 미분형식 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$
• $k$차 미분형식 $\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$
• 미분 형식의 연산: 합과 쐐기곱 $\wedge$
• 풀백
• $k$차 미분형식의 외미분

미분다양체와 리만기하학

• 미분가능한 다양체 $M$
• 다양체 위에서 미분가능한 함수 $f : M_{1} \to M_{2}$
• 미분다양체 위에서 미분가능한 함수들의 집합 $\mathcal{D}(M)$
• 미분 다양체 위의 탄젠트 벡터, 탄젠트 공간 $T_{p}M$
  • $n$차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 $n$차원 벡터공간이다
• 미분 다양체 위에서 정의된 함수의 미분 $d \phi_{p}$
• 미분 동형 사상
• 이멀젼과 임베딩
  • 이멀젼은 국소적으로는 임베딩이 된다

벡터 필드

• 탄젠트 번들 $TM = \bigcup\limits_{p \in M}T_{p}M$
• 벡터 필드 $X : M \to TM$
• 미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합 $\frak{X}(M)$
• 리 브라켓 $[X, Y] = XY - YX$
• 로컬 플로우

리만 메트릭, 접속

• 리만 메트릭과 리만 다양체 $(M, g)$
• 등거리사상과 국소 등거리사상
• 곡선을 따르는 벡터필드
• 아핀 접속 $\nabla_{X}Y$
• 공변도함수 $\dfrac{d V}{d t}$
• 평행한 벡터필드
• 양립가능한 접속
• 접속의 대칭성
• 레비-치비타 접속

측지선

• 측지선
• [플로우]
• [균질성]
• 지수 사상
• 미분가능한 곡선과 최소화
• 매개변수화된 곡면
• 가우스 보조정리
• 최소화 성질을 갖는 측지선
• 지수 사상과 노말 네이버후드
• 푸앙카레 메트릭

곡률

• 리만 곡률 텐서 $R$
  • 비앙키 항등식
  • 대칭성
  • 좌표계 표현 $R_{ijkl}$
• 단면 곡률 $K(\sigma)$
  • 단면곡률이 같으면 리만곡률이 같다
• 리치 곡률 $\Ric$
• 스칼라 곡률 $K$
• 공변도함수와 리만곡률의 관계
• 텐서란? $T : \frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$
• 텐서의 공변미분 $\nabla T$, 공변도함수 $\nabla_{Z}T$

주요 참고문헌

• Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
• Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)